Negatív binomiális eloszlás

Negatív binomiális eloszlás
Valószínűségi függvény
Kijelölés	$\mathrm {NB} (r,p)$
Lehetőségek	$r>0$ $p\in (0;1)$ $q\equiv 1-p$
Hordozó	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Valószínűségi függvény	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)))\,p^{r}\,q^{k))$
elosztási függvény	$I_{p}(r,k+1)$
Várható érték	${\frac {rq}{p}}$
Divat	$\left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor$ ha ha $\ r>1\$ $0$ $r\leq 1$
Diszperzió	${\displaystyle {\frac {rq}{p^{2))))$
Aszimmetria együttható	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r\,q))))$
Kurtosis együttható	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Pillanatok generáló függvénye	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
jellemző funkció	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

A negatív binomiális eloszlás , amelyet Pascal-eloszlásnak is neveznek, egy diszkrét valószínűségi változó eloszlása, amely megegyezik a Bernoulli-próbák sorozatában előforduló kudarcok számával, és a siker valószínűsége a harmadik siker előtt van . $p$ $r$

Definíció

Legyen független valószínűségi változók sorozata Bernoulli eloszlással , azaz. $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$

X_{i}=\left\{{\begin{mátrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{mátrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N } .

Egy valószínűségi változót a következőképpen szerkesztünk. Legyen ebben a sorozatban a siker száma . Akkor . Szigorúbban hadd . Akkor $Y$ $k+r$ $r$ $Y=k$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r

Az így meghatározott valószínűségi változó eloszlását negatív binomiálisnak nevezzük. Írd: . $Y$ $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$

Valószínűségi és eloszlási függvények

Egy valószínűségi változó valószínűségi függvénye a következő formában van: $Y$

\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k))\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2 ,\ldots

Az eloszlásfüggvény darabonként állandó, és értékeit egész pontokban fejezhetjük ki a hiányos béta függvényben : $Y$

F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)

Pillanatok

A negatív binomiális eloszlás momentumainak generáló függvénye a következőképpen alakul:

M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}

ahol

\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2))))

Tulajdonságok

Akkor hagyd $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$ $\sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)$

A negatív binomiális eloszlás speciális esetei

Ha r→∞, a negatív binomiális eloszlás Poisson-eloszlássá válik
Ha az r paraméter egy egész szám, akkor a negatív binomiális eloszlás az általánosított Bose-Einstein eloszlás lesz [1] .
R=1 esetén a negatív binomiális eloszlásból geometriai eloszlás lesz
r=1 esetén a kapott geometriai eloszlás egyetlen forrás Bose-Einstein eloszlása [1] .

Jegyzetek

↑ 1 2 Schopper H. (szerk.) Elektron - Pozitron kölcsönhatások. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. 133. o.// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Archivált : 2021. május 10. a Wayback Machine -nél

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó