Binomiális eloszlás

Binomiális eloszlás
Valószínűségi függvény
elosztási függvény
Kijelölés	$B(n,p)$
Lehetőségek	$n \geqslant 0$ - "próbák" száma - "siker" valószínűsége $0\leqslant p\leqslant 1$
Hordozó	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\))$
Valószínűségi függvény	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{nk}$
elosztási függvény	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Várható érték	$np$
Középső	az egyik $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Divat	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Diszperzió	$npq$
Aszimmetria együttható	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {npq))))$
Kurtosis együttható	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Differenciál entrópia	${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n))\right )$
Pillanatok generáló függvénye	$(q+pe^{t})^{n}$
jellemző funkció	$(q+pe^{it})^{n}$

Binomiális eloszlás paraméterekkel és a valószínűségelméletben - a "sikerek" számának eloszlása független véletlenszerű kísérletek sorozatában úgy, hogy a "siker" valószínűsége mindegyikben állandó és egyenlő . $n$ $p$ $n$ $p$

Definíció

Legyen független valószínűségi változók véges sorozata , amelyeknek ugyanaz a Bernoulli-eloszlása a paraméterrel , azaz mindegyiknél az érték a ("siker") és a ("sikertelen") értékeket veszi fel valószínűségekkel , ill. Aztán a valószínűségi változó ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ $p$ $i=1,\ldots ,n$ $X_{i}$ $egy$ $0$ $p$ $q=1-p$

Y=X_{1}+X_{2}+\lpont +X_{n}

binomiális eloszlása van és paraméterekkel . Ez így van írva: $n$ $p$

Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)

A véletlenszerű változót általában úgy értelmezik, mint a sikeresek száma azonos független Bernoulli-próbák sorozatában , mindegyik kísérlet sikerének valószínűségével . $Y$ $n$ $p$

A valószínűségi függvényt a következő képlet adja meg:

p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{nk)),\ \ k =0,\lpont ,n,

ahol

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(nk)!\,k!)}}

a binomiális együttható .

Elosztási függvény

A binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye felírható összegként:

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\sum \limits _{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor }}{\binom {n }{k}}\,p^{k}q^{{nk}},\;y\in {\mathbb {R}}

ahol azt a legnagyobb egész számot jelöli , amely nem haladja meg a , vagy hiányos béta függvényt : $\lfloor y\rfloor$ $y$

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)

Pillanatok

A binomiális eloszlás momentumainak generáló függvénye a következőképpen alakul:

M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}

ahol

{\mathbb {E}}[Y]=np

{\mathbb {E}}\left[Y^{2}\right]=np(q+np)

és a valószínűségi változó varianciája .

{\mathbb {D}}[Y]=npq

A binomiális eloszlás tulajdonságai

Hagyjuk és . Akkor . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$ $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ $p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(nk)$
Hagyjuk és . Akkor . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1},p)$ $Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{2},p)$ $Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$

Kapcsolat más disztribúciókkal

Ha , akkor megkapjuk a Bernoulli eloszlást . $n=1$
Ha nagy, akkor a centrális határeloszlási tétel alapján ahol egy normális eloszlás matematikai elvárással és szórással . $n$ ${\mathrm {Bin}}(n,p)\approx N(np,npq)$ $N(np,npq)$ $np$ $npq$
Ha a nagy és fix szám, akkor , ahol a Poisson-eloszlás a paraméterrel . $n$ $\lambda$ ${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\approx {\mathrm {P}}(\lambda )$ ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $\lambda$
Ha a valószínűségi változók és binomiális eloszlásúak , akkor a valószínűségi változó feltételes eloszlása a feltétel alatt hipergeometrikus . $x$ $Y$ $\mathrm {Bin} (D,p)$ $\mathrm {Bin} (ND,p)$ $x$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Lásd még

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó