Halmaz mértéke

A halmaz mértéke egy halmaz numerikus jellemzője, intuitívan úgy is felfogható, mint egy halmaz tömege egy bizonyos térbeli tömegeloszlással . A halmaz mértékének fogalma a valós változó függvényelméletében merült fel az integrál fogalmának kidolgozása során [1] .

Valójában a mérték egy bizonyos numerikus függvény , amely minden halmazhoz (egy bizonyos halmazcsaládból) egy nem negatív számot rendel. Amellett, hogy nem negatív, egy mértéknek mint függvénynek rendelkeznie kell az additív tulajdonsággal is – a diszjunkt halmazok uniójának mértékének egyenlőnek kell lennie mértékeik összegével . Meg kell jegyezni, hogy nem minden halmaz mérhető – egy mérték minden funkciójára általában egy halmazcsaládot értünk (amelyet az adott mértékhez képest mérhetőnek nevezünk), amelyre a mérték létezik.

Egy mérték speciális esete a részhalmazok Lebesgue-mértéke , amely a térfogat , a terület vagy a hossz fogalmát általánosítja olyan halmazokra , amelyek általánosabbak, mint pusztán sima felülettel határolnak. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definíciók

Adjunk meg egy halmazt a részhalmazok valamilyen megkülönböztetett osztályával, feltételezzük, hogy ez a részhalmazok osztálya néha halmazok gyűrűje vagy halmazok algebra, legáltalánosabb esetben halmazok félgyűrűje . $x$ ${\mathcal {F}}$

Egy függvényt mértéknek (néha térfogatnak ) nevezünk , ha teljesíti a következő axiómákat: $\mu \colon {\mathcal {F}}\ to [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — az üres halmaz mértéke nulla;
Bármilyen nem átfedő készlethez $A,B\in {\mathcal {F)),$ $A\cap B=\varnothing$ $\mu (A\kupa B)=\mu (A)+\mu (B)$ — a diszjunkt halmazok uniójának mértéke egyenlő e halmazok mértékeinek összegével ( additivitás, véges additivitás ).

Az első axióma kényelmes, de bizonyos értelemben redundáns: elegendő azt feltételezni, hogy van legalább egy véges mértékű halmaz, amiből az következik, hogy az üres halmaz mértéke egyenlő lesz nullával (egyébként egy üres halmaz bármilyen véges mértékhalmazra megváltoztatná a mértéket, annak ellenére, hogy a halmaz nem változott).

A második axiómából egyenesen következik (halmazok gyűrűje esetén), hogy tetszőleges véges számú diszjunkt halmaz uniójának mértéke egyenlő ezen halmazok mértékeinek összegével:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ én})

A halmazok félgyűrűjén át történő definíció esetén a véges additivitásnak ezt a tulajdonságát szokták felvenni a második axióma helyett, mivel általában a véges additivitás nem következik a páronkénti additivitásból [2] .

Megszámlálhatóan additív mérték

Egy mérték (véges) additivitása általában nem jelenti azt, hogy egy hasonló tulajdonság fennáll a diszjunkt halmazok megszámlálható uniójára. A mértékeknek van egy különleges fontos osztálya, az úgynevezett megszámlálhatóan additív mértékek.

Legyen adott egy megkülönböztetett -algebra halmaz . $x$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

Egy függvényt megszámlálhatóan additív (vagy -additív ) mértéknek nevezünk , ha kielégíti a következő axiómákat: $\mu \colon {\mathcal {F}}\ to [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -additivitás ) Ha egy páronkénti diszjunkt halmazok megszámlálható családja -ból , azaz -ből , akkor: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Jegyzetek

Hacsak nincs kifejezetten másképp jelezve, általában egy megszámlálhatóan additív mértéket kell érteni .
Nyilvánvaló, hogy minden megszámlálható additív mérték véges additív, de fordítva nem.
Ha a teljes tér mértéke véges, azaz , akkor egy ilyen mértéket magát végesnek nevezzük . Ellenkező esetben a mérték végtelen . $\mu (X)<\infty$

Általában az adott mértékhez képest mérhető halmazok alkotják saját alosztályukat a tér összes részhalmazának osztályában . És bár számos általános séma létezik, amelyek lehetővé teszik a mértékek kiterjesztését a mérhető halmazok nagy csoportjaira, néha egy mérték kiterjesztése csak az eredeti mérték egyedi tulajdonságainak elvesztése árán lehetséges. Például a Lebesgue -mérték véges -dimenziós euklideszi terekben invariáns ennek a térnek a mozgása alatt. A Lebesgue-mérték bármilyen kiterjesztése az euklideszi tér összes részhalmazának osztályára már nem lehet invariáns még csak eltolás esetén sem (lásd a nem mérhető halmaz példáját ). Tehát gyakorlati szempontból az ilyen folytatások minden értéküket elvesztik. $x$

Az egyenes és a kétdimenziós síkon a Lebesgue-mérték végtelen számú kiterjesztése van a Borel- algebrától az összes korlátos részhalmaz halmazáig, amely megőrzi a mérték véges additivitását, és így a kongruens halmazoknak ugyanaz a mértéke. A 3. dimenzióból kiindulva ez lehetetlen. $\sigma$

Kapcsolódó definíciók

A hármast mértékkel rendelkező szóköznek nevezzük , ha van mérhető tér , és egy rajta meghatározott mérték. $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Ha egy valószínűségi mérték , akkor az ilyen mértékkel rendelkező teret valószínűségi térnek nevezzük . $\mu$
Egy intézkedés támogatása a legkisebb zárt halmaz , amelyre az intézkedés koncentrálódik. A mértékhordozót általában jelöli . Pontosabban a legnagyobb nyitott halmaz kiegészítése , amely . $\mu$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\operatorname {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega )=0$

Tulajdonságok

A definícióból következik, hogy a mérték legalább a következő tulajdonságokkal rendelkezik (feltételezzük, hogy a mérték legalább a halmazok egy részében definiálva van ) :

Az üres halmaz mértéke nulla $\mu (\varnothing )=0$
- Ezt a tulajdonságot vagy axiómaként tételezzük fel a mérték definíciójában, vagy feltételezzük, hogy van legalább egy halmaz, amelynek mértéke véges . Ebből egyenesen következik, hogy az üres halmaz mértékének egyenlőnek kell lennie nullával (ellenkező esetben, ha az üres halmazt hozzáadjuk egy véges mértékhalmazhoz, akkor ennek a halmaznak a mértéke megnő, bár a halmaz nem változik). Az összes halmaz mértékének végtelenségének esete nem érdekes és gyakorlati értelme. Ezért a véges mértékhalmazok létezése kezdettől fogva feltételezhető.
- Egy halmaz mértékének nullával való egyenlőségéből általános esetben nem következik, hogy ez a halmaz üres. Nulla mértékhalmazokról szokás beszélni .

Monotonitás – egy részhalmaz mértéke nem nagyobb, mint magának a halmaznak a mértéke $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Ez egy intuitív tulajdonság - minél "kisebb" a készlet, annál kisebb a "mérete".

A beágyazott halmazok különbségének mértéke megegyezik ezen halmazok mértékeinek különbségével $A\subseteq B\Jobbra \mu (B\backslash A)=\mu (B)-\mu (A)$

Két tetszőleges halmaz uniójának mértéke egyenlő e halmazok mértékeinek összegével mínusz metszéspontjuk mértéke (ha ez utóbbi definiálva van): $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ ( befogadás-kizárás képlet )

Következésképpen,

\mu (A\cup B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Megszámlálhatóan additív mértékek tulajdonságai

A megszámlálhatóan additív mértékek a feltüntetetteken kívül a következő tulajdonságokkal is rendelkeznek.

Folytonosság: a beágyazott halmazok végtelen sorozatának határértéke egyenlő ezen halmazok mértéksorozatának határértékével: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Itt feltételezzük, hogy az első halmaz mértéke véges.
Ez a tulajdonság a halmazok "fordított" sorozatára is érvényes $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

A megszámlálható monotonitás azt jelenti, hogy a halmazok megszámlálható uniójának részhalmazának mértéke nem nagyobb, mint e halmazok mértékeinek összege: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_ {én})$

Példák

A Jordán -mérés a véges additív mérték példája.
A Lebesgue-mérték egy példa a megszámlálhatóan additív mértékre.
A valószínűség egy példa a véges mértékre.
Hausdorff intézkedés
Borel mérés
Haar mérték
Az ultraszűrő egy kételemes készletben lévő értékekkel rendelkező, véges additív mértékként definiálható $\{0,1\}$

Folyamatos intézkedések

Gyakran nehéz és szükségtelen minden halmazra explicit módon meghatározni egy mértéket a halmazok megfelelő szigma-algebrájából (gyűrű vagy algebra), mivel elegendő a mértéket a mérhető halmazok valamelyik osztályán meghatározni, majd szabványos eljárásokkal ( és ismert körülmények között), folytassa az ezen osztály által generált halmazok gyűrűjével, algebrájával vagy szigma-algebrájával.

Folytatás a félkörből

A mérhető halmazok osztályának szerkezetében halmazok gyűrűjének (ha a mérték additív) vagy halmazok szigma-algebrájának kell lennie (ha a mérték megszámlálhatóan additív), azonban mérték megadásához mindkét esetben elegendő halmazok félgyűrűjén definiálni - akkor a mérték egyedi módon folytatható az eredeti félgyűrűt tartalmazó halmazok minimális gyűrűjére (minimális szigma-algebra).

Legyen a mérhető halmazok kezdeti osztálya félgyűrű szerkezetű: tartalmaz egy üres halmazt, és bármely A és B halmazra a különbségükből ad egy véges partíciót mérhető halmazokra -ból , azaz van egy véges halmaz diszjunkt halmazból . oly módon, hogy ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Jelölje a vizsgált tér azon részhalmazainak osztályát, amelyek véges partíciót engednek be a -ból származó halmazokra . Az osztály a differencia, a metszés és a halmazok unió műveletei alatt zárt , és így halmazok gyűrűje, amelyek tartalmazzák (és természetesen minimális). Bármelyik additív funkció akkor és csak akkor terjedhet ki egyedileg egy additív funkcióra, ha értékei kompatibilisek a -val . Ez a követelmény azt jelenti, hogy a diszjunkt halmazok és a -ból származó bármely gyűjtemény esetén , ha az egyesülésük azonos, akkor a mértékeik összegének is azonosnak kell lennie: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Ha , akkor .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Példa

Legyen és legyen a tereken mérhető halmazok osztályai, amelyek félgyűrű szerkezetűek. A hol alak halmazai halmazok félgyűrűjét alkotják a téren . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\-szer B$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $X=X_{1}\x_{2}$

Ha a és mértékeket és -on adjuk meg , akkor a konzisztenciakövetelmény teljesítésére additív függvényt határozunk meg. Ennek kiterjesztését a minimális gyűrűt tartalmazóra a mértékek közvetlen szorzatának nevezzük , és jelöljük . Ha az eredeti mértékek definíciós tartományukon szigma-additívak voltak, akkor a mérték is szigma-additív lesz. Ezt a mértéket a többszörös integrálok elméletében használják (lásd Fubini tételét ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\mu (A\time B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu$

Változatok és általánosítások

A fogalom általánosításának egyik lehetősége a töltés , amely negatív értékeket vehet fel

Néha egy mértéket tetszőleges, véges additív függvénynek tekintenek egy Abel-féle félcsoport tartományával : egy megszámlálhatóan additív mérték esetén az értékek természetes tartománya egy topologikus Abeli - félcsoport ( topológiára van szükség ahhoz, hogy beszélni tudjunk a megszámlálható számú mérhető rész méréssorozatának konvergenciája, amelyre a megszámlálható additivitás definíciójában egy mérhető halmazt particionálunk). Példa a nem numerikus mértékre egy lineáris térben lévő értékekkel rendelkező mérték , különösen egy projektor értékű mérték, amely részt vesz a spektrális tétel geometriai megfogalmazásában .

Jegyzetek

↑ Sazonov V.V. Egy halmaz mértéke // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
↑ Ellenpélda egy félgyűrű esetére: legyen = , = , és definiálja a függvényt a következőképpen: , , , . Könnyen belátható, hogy a páronkénti additivitás és a félig tartó axiómák itt is érvényesek, de véges additivitás nincs. $x$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X)=3$

Irodalom

Vulikh, B. Z. Rövid kurzus a valós változó függvényeinek elméletéből (bevezetés az integrál elméletébe). — M .: Nauka, 1973. — 352 p.
Khalmosh P. Mértékelmélet . - M .: Külföldi Irodalmi Kiadó , 1953. - 282 p. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (a könyv bibliográfiai ritkaságnak számít 2011-ben)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei Nauka, 1976.
Bogachev V. I. A mértékelmélet alapjai, 2. kiadás, két kötetben, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moszkva-Izhevsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Valós és funkcionális elemzés. Kiadók: Kutatóközpont "Regular and Chaotic Dynamics", Institute for Computer Research, 2009. 724 pp. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogacsev V. I., Gauss-mérések, Nauka, Moszkva , 1997.
Bogachev V.I., Differenciálható mértékek és a Mallyavin-számítás, Kutatóközpont Regular and Chaotic Dynamics, Moszkva, 2008.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online) Universalis

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái