Numerikus integráció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A numerikus integráció (történelmi neve: (numerikus) kvadratúra ) egy határozott integrál értékének kiszámítása (általában közelítő). A numerikus integráció alatt egy bizonyos integrál értékének meghatározására szolgáló numerikus módszerek összességét értjük .

A numerikus integrációt akkor alkalmazzák, ha:

Maga az integrandus nincs analitikusan definiálva. Például értékek táblázataként (tömbjeként) jelenik meg néhány számítási rács csomópontjain.
Az integrandus analitikus reprezentációja ismert, de antideriváltja nem fejeződik ki analitikus függvényekkel. Például, . $f(x)=\exp(-x^{2})$

Ebben a két esetben lehetetlen kiszámítani az integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével . Az is előfordulhat, hogy az antiderivált alakja annyira összetett, hogy gyorsabban numerikusan ki lehet számítani az integrál értékét.

Egydimenziós tok

A legtöbb numerikus integrációs módszer fő gondolata, hogy az integrandust egy egyszerűbbre cseréljük, amelynek integrálja analitikusan könnyen kiszámítható. Ebben az esetben az integrál értékének becsléséhez az űrlap képletei

I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}w_{i}\,f(x_{i}),

ahol azoknak a pontoknak a száma, amelyeknél az integrandus értéke kiszámításra kerül. A pontokat a módszer csomópontjainak nevezzük, a számok a csomópontok súlyai. Ha az integrandust nulla, első és másodfokú polinomra cseréljük, a téglalapok , a trapézok és a parabolák (Simpson) módszerét kapjuk. Az integrál értékének becslésére szolgáló képleteket gyakran kvadratúra képleteknek nevezik. $n$ $x_{i}$ $w_{i}$

Speciális eset a Cotes-képletek néven ismert, egységes rácsokhoz tartozó integrál kvadratúra képletek megalkotásának módszere . A módszert Roger Coatesről nevezték el . A módszer lényege, hogy az integrandust valamilyen interpolációs polinomra cseréljük . Az integrál felvétele után írhatunk

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{{i=0}}^{{n}}H_{i}\,f(x_{i})+ r_{n}(f),

ahol a számokat Cotes-együtthatónak nevezik , és az integrandus eredeti interpolációs polinomjának megfelelő polinomjainak integráljaként számítják ki a függvény értékénél a csomóponton ( a rács lépése; a rács csomópontjainak száma és a csomópont indexe van ). A kifejezés a módszer hibája, amely többféleképpen is megtalálható. Páratlan esetén a hiba az integrandus interpolációs polinomjának hibájának integrálásával kereshető. $Szia$ $x_{i}=a+ih$ $h=(ba)/n$ $n$ $i=0\ldots n$ $r_{n}(f)$ $n\geqslant 1$

A Cotes-képletek speciális esetei: téglalap-formulák ( ), trapézformulák ( ), Simpson-formula ( ), Newton-formula ( ) stb. $n=0$ $n=1$ $n=2$ $n=3$

A téglalap módszer

Legyen szükséges meghatározni a függvény integráljának értékét az intervallumon . Ezt a szegmenst pontok egyenlő hosszúságú szegmensekre osztják . Jelölje a függvény értékével a pontokban. Ezután összeállítjuk az összegeket . Mindegyik összeg a on integrál összege, ezért közelítőleg kifejezi az integrált $\left[{a},{b}\right]$ $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},x_{n}$ $n$ $\Delta {x}={\frac {ba}{n}}.$ $y_{0},y_{1},\ldots ,y_{{n-1}},y_{n}$ $f\bal(x\jobb)$ $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},x_{n}.$ $y_{0}\,\Delta {x}+y_{1}\,\Delta {x}+\ldots +y_{{n-1}}\,\Delta {x}.$ $f\bal(x\jobb)$ $\left[{a},{b}\right]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{n}}(y_{0}+y_{1}+\ldots +y_{{n- egy}}).

Ha az adott függvény pozitív és növekvő, akkor ez a képlet egy "bejövő" téglalapokból álló lépcsőzetes alakzat területét fejezi ki, amelyet bal téglalapok képletének is neveznek, és a képlet

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{n}}(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n})

egy "kimenő" téglalapokból álló lépcsőzetes alakzat területét fejezi ki, amelyet derékszögű téglalapok képletének is neveznek. Minél rövidebbek azok a szegmensek, amelyekre a szegmens fel van osztva , annál pontosabb a kívánt integrál e képlettel számított értéke. $\left[{a},{b}\right]$

Nyilvánvalóan nagyobb pontossággal kell számolnia, ha az intervallum közepén lévő pontot veszi referenciapontnak a magasság meghatározásához. Ennek eredményeként megkapjuk a képletet a középső téglalapokhoz:

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=1}}^{{n}}f\left(x_{{i-1}} +{\frac {h}{2}}\right)=h\sum _{{i=1}}^{{n}}f\left(x_{i}-{\frac {h}{2} }\jobb),

ahol $h={\frac {ba}{n}}$

Tekintettel az utolsó képlet eleve nagyobb pontosságára, ugyanolyan térfogatú és számítási jelleggel, ezt téglalapok képletének nevezik.

Trapéz módszer

Ha az egyes részszakaszokon a függvényt a végső értékeken átmenő egyenessel közelítjük , akkor a trapéz módszert kapjuk.

A trapéz területe minden szakaszon:

I_{i}\approx {\frac {f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2}}(x_{i}-x_{i-1}).

Közelítő hiba minden szegmensben:

\left|R_{i}\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12n^{2}}}M_{2,i},

ahol

M_{2,i}=\max _{x\in [x_{i-1},\,x_{i}]}{\left|f''(x)\right|}.

A trapézok teljes képlete abban az esetben, ha a teljes integrációs intervallumot azonos hosszúságú szegmensekre osztjuk : $h$

I\approx h\left({\frac {f(x_{0})+f(x_{n})}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f (x_{i})\jobbra),

ahol

h={\frac {ba}{n}}.

Trapézforma hiba:

\left|R\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12n^{2}}}M_{2},

ahol

M_{2}=\max _{x\in [a,\,b]}{\left|f''(x)\right|}.

Parabola-módszer (Simpson-módszer)

Az integrációs szegmens három pontját felhasználva az integrandust helyettesíthetjük parabolával. Általában a szakasz végeit és felezőpontját használják ilyen pontként. Ebben az esetben a képlet nagyon egyszerű

I\kb. {\frac {ba}{6}}\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)

Ha az integrációs intervallumot egyenlő részekre osztjuk, akkor megvan $2N$

I\approx {\frac {ba}{6N}}\left(f_{0}+4\left(f_{1}+f_{3}+\ldots +f_{2N-1}\right) +2\left(f_{2}+f_{4}+\ldots +f_{2N-2}\right)+f_{2N}\right),

ahol . $f_{i}=f\left(a+{\frac {(ba)i}{2N}}\jobb)$

Növekvő pontosság

Egy függvénynek egy polinommal való közelítése az integrálás teljes intervallumában általában nagy hibához vezet az integrál értékének becslésében.

A hiba csökkentése érdekében az integrációs szegmenst részekre osztjuk, és egy numerikus módszerrel értékeljük ki az integrált mindegyiken.

Mivel a partíciók száma a végtelenbe hajlik, az integrál becslése a valós értékéhez igazodik bármely numerikus módszer esetén.

A fenti módszerek lehetővé teszik a lépés felezésének egyszerű eljárását, míg minden lépésnél csak az újonnan hozzáadott csomópontoknál kell a függvényértékeket kiszámítani. A számítási hiba becsléséhez a Runge szabályt használjuk .

Gauss-módszer

A fent leírt módszerek a szegmens rögzített pontjait (végek és középső) használják, és a pontosságuk alacsony (0 - jobb és bal téglalapok módszerei, 1 - középső téglalapok és trapézok módszerei, 3 - parabolák (Simpson-módszer). Ha ki tudjuk választani azokat a pontokat, ahol a függvény értékeit számítjuk , akkor nagyobb pontosságú módszereket kaphatunk az integrandus azonos számú számításával. Tehát az integrandus értékeinek két (mint a trapéz módszernél) kiszámításához nem a második, hanem a harmadik pontossági sorrendet kaphatja meg: $f(x)$

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}} \right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)

Általános esetben a pontok felhasználásával a képlet segítségével olyan módszert kaphatunk, amelynek a pontossága , azaz pontos értékeket kapunk a legfeljebb fokú polinomokra . $n$ $I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})$ $2n-1$ $2n-1$

A Gauss-módszer pontonkénti csomópontértékei a Legendre fokpolinom gyökerei . A súlyértékeket a képlet számítja ki , ahol a Legendre-polinom első deriváltja . $x_{i}$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

A csomópontok és a súlyok jelentése a következő: súlyok: $n=3$ $x_{{1,3}}=\pm {\sqrt {0,6}},x_{2}=0,$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(a polinom a szegmensen van definiálva ). $[-1,1]$

A legismertebb a Gauss-féle ötpontos módszer.

Gauss-Kronrod módszer

A Gauss-módszer hátránya, hogy nincs egyszerű (számítási szempontból) módja az integrál kapott értékének hibájának becslésére. A Runge-szabály használata megköveteli az integrandus kiszámítását megközelítőleg ugyanannyi ponton, miközben gyakorlatilag nem ad pontosságnövekedést, ellentétben az egyszerű módszerekkel, ahol a pontosság minden új partícióval többszörösére nő. Kronrod a következő módszert javasolta az integrál értékének becslésére

I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

ahol a Gauss-módszer csomópontjai pontonként vannak, és a , , paramétereket úgy választjuk meg, hogy a módszer pontossági sorrendje egyenlő legyen . $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $kettős}$ $y_{i}$ $3n+1$

Ezután a hiba becsléséhez használhatja az empirikus képletet :

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

ahol a Gauss-módszerrel kapott integrál közelítő értéke a pontokon. A gsl és SLATEC függvénytárak a határozott integrálok számítására a Gauss-Kronrod módszerrel 15, 21, 31, 41, 51 és 61 ponthoz tartozó rutinokat tartalmaznak. Az ALGLIB könyvtár a Gauss-Kronrod módszert használja 15 ponthoz. $én_{G}$ $n$

Csebisev módszere

A Csebisev-módszer (vagy ahogyan néha Gauss-Csebisev-nek nevezik) a Gauss-féle legnagyobb algebrai pontosságú módszer egyik képviselője. Megkülönböztető tulajdonsága, hogy az integrandusnak van szorzója , i.e. a lényeg ez: $\left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))\right)$

\int \limits _{-1}^{1}f(x)\left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))\right)\,dx= \sum _{i=1}^{N}C_{i}f(x_{i})

ahol , , a metóduscsomópontok száma. $C_{i}=\pi /N$ $x_{i}=cos\left({\frac {(2i-1)\pi }{2N}}\right)$ $N$

Gauss-Lager módszer

Gauss-Hermite módszer

Integráció végtelen határokon túl

A végtelen határok feletti integráláshoz be kell vezetni egy nem egységes rácsot, amelynek lépései a végtelenbe haladva nőnek, vagy végrehajthatunk ilyen változóváltást az integrálban, ami után a határértékek végesek lesznek. Hasonló módon járhatunk el, ha a függvény szinguláris az integrációs intervallum végén.

Lásd még a Samokish módszert .

Monte Carlo Methods

A függvénygráf alatti terület meghatározásához a következő sztochasztikus algoritmust használhatja:

a függvényt egy téglalapra korlátozzuk ( sok dimenzió esetén n dimenziós paralelepipedon), amelynek területe könnyen kiszámítható; $S_{{par}}$
„firkáljunk” ebbe a téglalapba (parallelelepiped) bizonyos számú pontot ( darabot), amelyek koordinátáit véletlenszerűen választjuk ki; $N$
határozza meg a függvény grafikonja alá eső pontok (darabok) számát ; $K$
a függvény- és koordinátatengelyek által határolt terület területét a kifejezés adja meg ; $S$ $S=S_{{par}}{\frac {K}{N}}$

Ez az algoritmus megköveteli a függvény extrémjének meghatározását az intervallumon, és nem használja a függvény számított pontos értékét, kivéve az összehasonlítást, ezért nem alkalmas a gyakorlásra. A Monte Carlo módszer fő cikkben közölt változatai mentesek ezektől a hiányosságoktól. $f(x)$

Az integrálható függvény kis számú dimenziója esetén a Monte Carlo-integráció teljesítménye jóval alacsonyabb, mint a determinisztikus módszerek teljesítménye. Bizonyos esetekben azonban, amikor a függvényt implicit módon adjuk meg, de szükséges a komplex egyenlőtlenségek formájában megadott terület meghatározása, a sztochasztikus módszer előnyösebb lehet.

Runge-Kutta metódusok

Runge-Kutta módszerek - a numerikus algoritmusok fontos családja a közönséges differenciálegyenletek és rendszereik megoldására - az explicit és implicit közelítő számítás iteratív módszerei, amelyeket K. Runge és M. V. Kutta német matematikusok fejlesztettek ki 1900 körül .

Spline módszer

Többdimenziós eset

Kis méretekben interpolációs polinomokon alapuló kvadratúra képletek is alkalmazhatók . Az integráció az egydimenziós integrációhoz hasonlóan történik. Nagy méretek esetén ezek a módszerek elfogadhatatlanokká válnak a rácspontok számának gyors növekedése és/vagy a régió összetett határa miatt. Ebben az esetben a Monte Carlo módszert alkalmazzuk . A területünkön véletlenszerű pontokat generálunk, és a bennük lévő függvényértékeket átlagoljuk. Használhat vegyes megközelítést is - ossza fel a területet több részre, amelyek mindegyikében (vagy csak azokban, ahol az integrál nem számítható a komplex határ miatt) alkalmazza a Monte Carlo módszert .

Megvalósítási példák

Az alábbiakban az átlagos téglalap módszer, az átlagos trapéz módszer, a Simpson módszer és a Monte Carlo módszer Python 3 megvalósítása látható.

import math , véletlenszerű a numpy import sorból def get_i (): return math . e ** 1 - matek . e ** 0 def method_of_rectangles ( func , min_lim , max_lim , delta ): def integrate ( func , min_lim , max_lim , n ): integral = 0.0 step = ( max_lim - min_lim ) / n for x in arange ( min_lim , max_lim - step , step ): integrál += lépés * func ( x + lépés / 2 ) visszatér integrál d , n = 1 , 1 while abs ( d ) > delta : d = ( integrál ( func , min_lim , max_lim , n * 2 ) - integrál ( func , min_lim , max_lim , n )) / 3 n *= 2 a = abs ( integrate ( func , min_lim , max_lim , n )) b = abs ( integrál ( func , min_lim , max_lim , n )) + d if a > b : a , b = b , a print ( 'Téglalapok:' ) print ( ' \t %s \t %s \t %s ' % ( n , a , b )) def trapezium_method ( func , min_lim , max_lim , delta ): def integrate ( func , min_lim , max_lim , n ): integrál = 0.0 step = ( max_lim - min_lim ) / n for x in arange ( min_lim , max_lim - step , step ): integrál += lépés * ( func ( x ) + func ( x + lépés )) / 2 visszatérő integrál d , n = 1 , 1 while abs ( d ) > delta : d = ( integrál ( func , min_lim , max_lim , n * 2 ) - integrál ( func , min_lim , max_lim , n )) / 3 n *= 2 a = abs ( integrate ( func , min_lim , max_lim , n )) b = abs ( integrate ( func , min_lim , max_lim , n )) + d if a > b : a , b = b , a print ( 'Trapéz:' ) print ( ' \t %s \t %s \t %s ' % ( n , a , b )) def simpson_method ( func , min_lim , max_lim , delta ): def integrál ( func , min_lim , max_lim , n ): integrál = 0.0 step = ( max_lim - min_lim ) / n x esetén a tartományban ( min_lim + step / 2 , max_lim - step / 2 , lépés ): integrál += lépés / 6 * ( func ( x - step / 2 ) + 4 * func ( x ) + func ( x + lépés / 2 )) visszatér integrál d , n = 1 , 1 while abs ( d ) > delta : d = ( integrál ( func , min_lim , max_lim , n * 2 ) - integrál ( func , min_lim , max_lim , n )) / 15 n *= 2 a = abs ( integrate ( func , min_lim , max_lim , n )) b = abs ( integrál ( func , min_lim , max_lim , n )) + d if a > b : a , b = b , a print ( 'Simpson:' ) print ( ' \t %s \t %s \t %s ' % ( n , a , b )) def monte_karlo_method ( func , n ): in_d , out_d = 0. , 0. for i in arange ( n ): x , y = véletlenszerű . egységes ( 0 , 1 ), véletlenszerű . egységes ( 0 , 3 ) , ha y < func ( x ): in_d += 1 print ( 'MK:' ) print ( ' \ t %s \ t %s ' % ( n , abs ( in_d / n * 3 ) téglalapok_módszere ( lambda x : matematikai . e ** x , 0,0 , 1,0 , 0,001 ) trapéz_módszer ( lambda x : math . e ** x , 0,0 , 1,0 , 0,001 ) simpson_módszer : ( x lambda .0 ** math .0 _ _ _ _ 1.0 , 0.001 ) monte_karlo_method ( lambda x : math . e ** x , 100 ) print ( 'Valódi érték: \n\t %s ' % get_i ())

Irodalom

Kahaner D., Mowler K., Nash S. Numerikus módszerek és szoftver (angolból fordítva) .. - Szerk. második, sztereotípia .. - M . : Mir, 2001. - 575 p. — ISBN 5-03-003392-0 .
Samarsky A. A. , Gulin A. V. Numerikus módszerek: Proc. juttatás az egyetemek számára. - M . : Tudomány. Ch. szerk. fizika és matematika lit., 1989. - 432 p. — ISBN 5-02-013996-3 .
Piskunov N. S. Differenciál- és integrálszámítás: Proc. egyetemi pótlék: 2 kötetben - 13. kiadás - M . : Nauka. Ch. szerk. fizika és matematika lit., 1985. - 432 p.
Boltachev G.Sh. Numerikus módszerek a hőfizikában. Előadás 3. előadás: Numerikus integráció

Lásd még

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái