Paraméterfüggő integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2014. november 3-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A paramétertől függő integrál olyan matematikai kifejezés , amely egy meghatározott integrált tartalmaz, és egy vagy több változótól („paraméterektől”) függ .

Paraméterfüggő sajátintegrál

Legyen adott egy tartomány egy kétdimenziós euklideszi térben , amelyen két változó függvénye van definiálva. $\overline{G}=\left\{\left (x,y\jobb )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \jobbra\}$ $f(x,y)$

Engedd tovább ,. $\all y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$

A és függvényt a paramétertől függően integrálnak nevezzük . $I(y)$

Egy integrál tulajdonságai paramétertől függően

Folytonosság

Legyen a függvény folytonos a tartományban két változó függvényében. Ekkor a függvény folytonos a szakaszon . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\, dx$ $[c;d]$

Bizonyíték

Tekintsük az integrál növekményét a paramétertől függően. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\right) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

Cantor tétele szerint egy kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos rajta, azaz. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Ezért for , ami a függvény folytonosságát jelenti $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Differenciálás az integráljel alatt

Most ne csak a függvény legyen folytonos a tartományon , hanem annak parciális deriváltja is . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$

Akkor , vagy ami ugyanaz, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Bizonyíték

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Ezeket a transzformációkat a Lagrange-féle átlagtétel segítségével hajtottuk végre . Tekintsük most a kifejezést . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\jobbra) \jobbra) \, dx$

Ismét használva a Cantor-tételt , de a függvényre azt kapjuk, hogy -re , ami bizonyítja ezt a tételt $\frac {\partial f} {\partial y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \-0$