Irracionális függvények integráljainak listája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az alábbiakban felsoroljuk az irracionális függvények integráljait ( antideriváltjait ) . Az integráció additív állandója mindenhol kimarad a listából .

2 + x 2 - ben gyökerező integrálok

Mindenhol lent: . $r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$

\int r\;dx={\frac {1}{2}}\left(xr+a^{2}\,\ln \left({x+r}\right)\right)

\int r^{3}\;dx={\frac {1}{4}}xr^{3}+{\frac {1}{8}}3a^{2}xr+{\frac {3}{ 8}}a^{4}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int r^{5}\;dx={\frac {1}{6}}xr^{5}+{\frac {5}{24}}a^{2}xr^{3}+{\ frac {5}{16}}a^{4}xr+{\frac {5}{16}}a^{6}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int xr^{{2n+1}}\;dx={\frac {r^{{2n+3}}}{2n+3}}

\int x^{2}r\;dx={\frac {xr^{3}}{4}}-{\frac {a^{2}xr}{8}}-{\frac {a^{ 4}}{8}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\jobb)

\int x^{2}r^{3}\;dx={\frac {xr^{5}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{24}} -{\frac {a^{4}xr}{16}}-{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right )

\int x^{3}r\;dx={\frac {r^{5}}{5}}-{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}

\int x^{3}r^{3}\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}

\int x^{3}r^{{2n+1}}\;dx={\frac {r^{{2n+5}}}{2n+5}}-{\frac {a^{3} r^{{2n+3}}}{2n+3}}

\int x^{4}r\;dx={\frac {x^{3}r^{3}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{8} }+{\frac {a^{4}xr}{16}}+{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\ jobb)

\int x^{4}r^{3}\;dx={\frac {x^{3}r^{5}}{8}}-{\frac {a^{2}xr^{5} }{16}}+{\frac {a^{4}xr^{3}}{64}}+{\frac {3a^{6}xr}{128}}+{\frac {3a^{8 }}{128}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\jobbra)

\int x^{5}r\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {2a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}

\int x^{5}r^{3}\;dx={\frac {r^{9}}{9}}-{\frac {2a^{2}r^{7}}{7}} +{\frac {a^{4}r^{5}}{5}}

\int x^{5}r^{{2n+1}}\;dx={\frac {r^{{2n+7}}}{2n+7}}-{\frac {2a^{2} r^{{2n+5}}}{2n+5}}+{\frac {a^{4}r^{{2n+3}}}{2n+3}}

\int {\frac {r\;dx}{x}}=ra\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|=ra\operátornév {arsh} {\frac {fejsze}}

\int {\frac {r^{3}\;dx}{x}}={\frac {r^{3}}{3}}+a^{2}ra^{3}\ln \left| {\frac {a+r}{x}}\right|

\int {\frac {r^{5}\;dx}{x}}={\frac {r^{5}}{5}}+{\frac {a^{2}r^{3}} {3}}+a^{4}ra^{5}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

\int {\frac {r^{7}\;dx}{x}}={\frac {r^{7}}{7}}+{\frac {a^{2}r^{5}} {5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}+a^{6}ra^{7}\ln \left|{\frac {a+r}{x }}\right|

\int {\frac {dx}{r}}=\operátornév {arsh} {\frac {x}{a}}=\ln \left|x+r\right|

\int {\frac {x\,dx}{r}}=r

\int {\frac {x^{2}\;dx}{r}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ ,\operátornév {arsh} {\frac {x}{a}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|x+ r \right|

\int {\frac {dx}{xr}}=-{\frac {1}{a}}\,\operátornév {arsh} {\frac {a}{x}}=-{\frac { 1}{a}}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

Az x 2 -ben gyökerező integrálok − a 2

Mindenhol lent: . $s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$

Elfogadva , részletekért lásd a következő részt. $x^{2}>a^{2}$ $x^{2}<a^{2}$

\int s\;dx={\frac {1}{2}}\left(xs-a^{2}\ln \left(x+s\right)\right)

\int xs\;dx=-{\frac {1}{3}}s^{3}

\int {\frac {s\;dx}{x}}=sa\cos ^{{-1}}\left|{\frac {a}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{s}}=\int {\frac {dx}({\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}=\ln \left|x+s \jobbra|

Vegye figyelembe, hogy ahol csak pozitív értékeket vesz fel. $\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\operátornév {arch} \left|{\frac {x}{a}} \right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{xs}}\right)$ $\operátornév {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|$

\int {\frac {x\;dx}{s}}=s

\int {\frac {x\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{s}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{3s^{3}}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{5s^{5}}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{{2n+1))))=-{\frac {1}{(2n-1)s^{{2n-1))))

\int {\frac {x^{{2m}}\;dx}{s^{{2n+1}}}}=-{\frac {1}{2n-1}}{\frac {x^{ {2m-1}}}{s^{{2n-1}}}}+{\frac {2m-1}{2n-1}}\int {\frac {x^{{2m-2}}\ ;dx}{s^{{2n-1}}}}

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s}}={\frac {xs}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left| {\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {x}{s}}+\ln \left|{\frac {x+s}{ a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s}}={\frac {x^{3}s}{4}}+{\frac {3}{8}}a^{2 }xs+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{3}}}={\frac {xs}{2}}-{\frac {a^{2}x}{s}} +{\frac {3}{2}}a^{2}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac { x^{3}}{s^{3}}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{{2m}}\;dx}{s^{{2n+1}}}}=(-1)^{{nm}}{\frac {1}{a^{ {2(nm)}}}}\összeg _{{i=0}}^{{nm-1}}{\frac {1}{2(m+i)+1}}{nm-1 \choose i}{\frac {x^{{2(m+i)+1}}}{s^{{2(m+i)+1}}}},

ahol

n>m\geq 0

\int {\frac {dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x}{s}}

\int {\frac {dx}{s^{5}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {1 }{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}\jobbra]

\int {\frac {dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac { 2}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5 }}}\jobb]

\int {\frac {dx}{s^{9}}}={\frac {1}{a^{8}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {3 }{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5} }}-{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\jobbra]

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x^{3}}{ 3s^{3}}}

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{7}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {1}{3} }{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\jobbra ]

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{9}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {1}{3 }}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {2}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}+ {\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\jobbra]

2 − x 2 - ben gyökerező integrálok

Mindenhol lent: $t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leqslant |a|{\mbox{)))$

\int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)={\frac {1}{ 2}}\left(xt-a^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\right)

\int xt\;dx=-{\frac {1}{3}}t^{3}

\int {\frac {t\;dx}{x}}=ta\ln \left|{\frac {a+t}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{t}}=\arcsin {\frac {x}{a}}

\int {\frac {x\;dx}{t}}=-t

\int {\frac {x^{2}\;dx}{t}}=-{\frac {x}{2}}t+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\ frac {x}{a}}

\int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt-\operátornév {sgn} x\,\operátornév {arch} \left|{\frac {x}{a} }\jobbra|\jobbra)

Közös négyzetháromtagban gyökerező integrálok

Itt van jelölve: $R=ax^{2}+bx+c$

\int {\frac {dx}{{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))={\frac {1}({\sqrt {a))))\ln \left|2{ \sqrt {aR}}+2ax+b\right|\qquad {\mbox{( }}a>0{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operátornév {arsh} { \frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2))))\qquad {\mbox{( }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{ \mbox{)}}

\int {\frac {dx}{{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))={\frac {1}({\sqrt {a))))\ln |2ax+b| \quad {\mbox{( }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))=-{\frac {1}({\sqrt {-a))))\arcsin {\frac {2ax+b}{{\sqrt {b^{2}-4ac))))\qquad {\mbox{( }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{ \mbox{)}}

\int {\frac {dx}{{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{{3))))))={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{ 2}){\sqrt {R))))

\int {\frac {dx}{{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{{5))))))={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^ {2}){\sqrt {R}}}}\left({\frac {1}{R}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\jobb)

\int {\frac {dx}{{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{{2n+1))))}}={\frac {4ax+2b}{(2n-1 )(4ac-b^{2})R^{{(2n-1)/2))))+{\frac {8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^{2 })}}\int {\frac {dx}{R^{{(2n-1)/2}}}}

\int {\frac {x\;dx}{{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))={\frac ({\sqrt {R))}{a))-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{{\sqrt {R}}}}

\int {\frac {x\;dx}{{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{3))))}=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b ^{2}){\sqrt {R))))

\int {\frac {x\;dx}{{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{{2n+1))))))=-{\frac {1}{(2n -1)aR^{{(2n-1)/2))))-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R^{{(2n+1)/2} }}}

\int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))=-{\frac {1}({\sqrt {c))))\ln \left( {\frac {2{\sqrt {cR}}+bx+2c}{x}}\jobbra)

\int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c))))=-{\frac {1}{\sqrt {c))}\operátornév {arsh } \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\jobb)

\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,dx=({\frac {x}{2}}+{\frac {b}{4a}}){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+({\frac {c}{2}}-{\frac {b^{2}}{8a}})\int {\frac {dx}{\ sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\qquad

, ahol az utolsó integrál az a,b és c paraméterektől függ (lásd fent)

Integrálok lineáris függvény gyökével

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax+b))))\,=\,{\frac {-2}{\sqrt {b))}\operátornév {arth} { \sqrt {\frac {ax+b}{b))))

\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{x}}\,dx\;=\;2\left({\sqrt {ax+b}}-{\sqrt {b}} \operátornév {arth} {\sqrt {\frac {ax+b}{b))}\right)

\int {\frac {x^{n}}{{\sqrt {ax+b}}}}\,dx\;=\;{\frac {2}{a(2n+1)))\left( x^{{n}}{\sqrt {ax+b}}-bn\int {\frac {x^{{n-1}}}{{\sqrt {ax+b}}}}\,dx\ jobb)

\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,dx\;=\;{\frac {2}{2n+1}}\left(x^{{n+1}}{\ sqrt {ax+b}}+bx^{{n}}{\sqrt {ax+b}}-nb\int x^{{n-1}}{\sqrt {ax+b}}\,dx\ jobb)

Bibliográfia

Könyvek

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Integrálok, összegek, sorozatok és termékek táblázatai. - 4. kiadás - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Integráltáblázatok Szentpétervár: A JSC VNIIG im. kiadója és nyomdája. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC szabványos matematikai táblázatok és képletek , 31. kiadás, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz és I. A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára . - M . : " Nauka ", 1974.

Integrálok táblázatai

Integrálok számítása

Integrálok listája függvénytípusok szerint
Alapvető racionális irracionális trigonometrikus fordított hiperbolikus fordított exponenciális logaritmikus függvények