Az elemi függvények integráljainak listája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az integráció a számítás két alapvető műveletének egyike . A differenciálás műveletétől eltérően egy elemi függvény integráljának nem kell elemi függvénynek lennie. Például Liouville tételéből az következik, hogy az integrál nem elemi függvény. Az ismert antiderivatívokat tartalmazó táblázatok gyakran nagyon hasznosak, bár mostanra a számítógépes algebrai rendszerek megjelenésével elvesztik jelentőségüket. Ez az oldal a leggyakrabban előforduló primitívek listáját tartalmazza. $e^{x^2}$

$C$ tetszőleges integrációs állandóként használjuk, amely akkor határozható meg, ha az integrál értéke egy adott ponton ismert. Minden függvénynek végtelen számú antideriváltja van.

A függvények integrálásának szabályai

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Elemi függvények integráljai

Racionális függvények

\int \!0\,dx=C

(nulla antideriváltja konstans; bármely integrációs tartományban a nulla integrálja egyenlő nullával)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operátornév{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operátornév{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Bizonyíték

Csináljunk egy cserét , megkapjuk $x=a\operatorname {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operátornév {tg} t) \over a^{2}+( a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| + C

("magas logaritmus")

Logaritmusok

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Exponenciális függvények

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Irracionális függvények

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operátornév{arcsec}\,{|x| \over a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\right|+C

("hosszú logaritmus")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2))}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Bizonyíték

Tegyük fel azt is . Használjunk hiperbolikus függvényeket , végezzük el a helyettesítést $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\operátornév {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operátornév {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operátornév {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operátornév {ch} ^{2}t-1}}\operátornév {sh} tdt\\&=-a\int \operátornév {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operátornév {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ bal ({\operátornév {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} tt)+C_ {1}\end{igazított}}$

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operátornév {sh} t+\operátornév {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Ezért

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Így a C állandó utolsó történek nevezőjének logaritmusát beszámítva megkapjuk

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Ha , akkor behelyettesítéssel az integrált a már vizsgált esetre redukáljuk. Ha , akkor cserét végzünk és a vizsgált esethez hasonló érvelést hajtunk végre [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operátornév {sh} t$

Trigonometrikus függvények

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operátornév{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Bizonyíték

$\int \!\operátornév{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

\int\!\operátornév{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Bizonyíték

$\int \!\operátornév{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operátornév {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operátornév{tg}\,x + C

\int \!\operátornév {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operátornév {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operátornév{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operátornév {cosec} {x}\,\operátornév {ctg} \,{x}\,dx=-\operátornév {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operátornév{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operátornév{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \jobbra)} + C

Hiperbolikus függvények

\int \operátornév{sh}\,x \, dx = \operátornév{ch}\,x + C

\int \operátornév{ch}\,x \, dx = \operátornév{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operátornév{ch}^2\,x} = \operátornév{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operátornév{sh}^2\,x} = - \operátornév{cth}\,x + C

\int \operátornév{th}\,x \, dx = \ln |\operátornév{ch}\,x| + C

\int \operátornév{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operátornév{th}\,{x \over2}\right| + C

\int \operátornév {sech} \,x\,dx=\operátornév {arctg} \,\operátornév {sh} \,x+C

\int \operátornév{sech}\,x \, dx = 2\, \operátornév{arctg}\, (e^x) + C

\int \operátornév{sech}\,x \, dx = 2\, \operátornév{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operátornév{cth}\,x \, dx = \ln|\operátornév{sh}\,x| + C

Bizonyítéka

A képlet bizonyítéka : $\int \operátornév {sech} \,x\,dx=\operátornév {arctg} \operátornév {sh} \,x+C$

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operátornév {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C

A képlet igazolása : . $\int \operátornév{sech}\,x \, dx = 2\operátornév{arctg}(e^x) + C$ $\int \operátornév {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operátornév {arctg} (e^{x})+C$

A képlet bizonyítéka : $\int \operátornév{sech}\,x \, dx = 2\, \operátornév{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operátornév {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operátornév {th} {x \over 2}) \ több mint 1+\operátornév {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}} \jobbra)+C\end{igazított}}

Különleges szolgáltatások

\int \operátornév {Ci} (x)\,dx=x\operátornév {Ci} (x)-\sin x

\int \operátornév {Si} (x)\,dx=x\operátornév {Si} (x)+\cos x

\int \operátornév {Ei} (x)\,dx=x\operátornév {Ei} (x)-e^{x}

\int \operátornév {li} (x)\,dx=x\operátornév {li} (x)-\operátornév {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operátornév {li} (x)-x

\int \operátornév {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operátornév {erf} (x )

Jegyzetek

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Feladatok és gyakorlatok a matematikai elemzésben. 2 könyvben. Könyv. 1 / Szerk. V.A. Sadovnichy. - 2. kiadás - M .: Felsőiskola , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliográfia

Könyvek

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Integrálok, összegek, sorozatok és termékek táblázatai. - 4. kiadás - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Integráltáblázatok Szentpétervár: A JSC VNIIG im. kiadója és nyomdája. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC szabványos matematikai táblázatok és képletek , 31. kiadás, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz és I. A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára . - M . : " Nauka ", 1974.

Integrálok táblázatai

Integrálok számítása

Integrálok listája függvénytípusok szerint
Alapvető racionális irracionális trigonometrikus fordított hiperbolikus fordított exponenciális logaritmikus függvények