Hiperbolikus függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A hiperbolikus függvények olyan elemi függvények családja, amelyeket exponenciálisan fejeznek ki, és szorosan kapcsolódnak a trigonometrikus függvényekhez .

Definíció

A hiperbolikus függvényeket a következő képletekkel adjuk meg:

hiperbolikus szinusz :

\operátornév {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(az angol irodalomban jelölve ) $\sinh x$

hiperbolikus koszinusz :

\operátornév {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(az angol irodalomban jelölve ) $\cosh x$

hiperbolikus tangens :

\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(az angol irodalomban jelölve ) $\tanh x$

hiperbolikus kotangens :

\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(az angol irodalomban jelölve ) $\coth x$

hiperbolikus szekáns :

{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x))))

A hiperbolikus szekánst néha úgy is jelölik, mint . $\operatorname {sech} x$

hiperbolikus koszekáns :

{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x))))

Geometriai meghatározás

Az összefüggésre tekintettel a hiperbolikus függvények a hiperbola ( , ) parametrikus ábrázolását adják . Ebben az esetben az argumentum , ahol a görbe vonalú háromszög területe a "+" jellel együtt, ha a szektor a tengely felett van , és a "-" az ellenkező esetben. Nyilvánvalóan ezen a paraméteren keresztül definiálhatók hiperbolikus függvények is, például a hiperbolikus szinuszegyenletek parametrikus formában: , ahol a területnek megfelelő hiperbola pontjának ordinátája . Ez a meghatározás analóg a trigonometrikus függvények definíciójával az egységkör szempontjából , amely szintén hasonló módon szerkeszthető. $\operátornév {ch} ^{2}t-\operátornév {sh} ^{2}t=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ $x=\operátornév {ch} t$ $y=\operátornév {sh} t$ $t=2S$ $S$ $OQR$ $ÖKÖR$ $x=t,y=f(t)$ $f(t)$ $t=2S$

Tulajdonságok

Kapcsolat trigonometrikus függvényekkel

A hiperbolikus függvényeket az imaginárius argumentum trigonometrikus függvényeivel fejezzük ki .

$\operátornév {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operátornév {ch} x=\cos(ix),\quad \operátornév {th} x=-i\operátornév {tg} (ix)$ .

$\operátornév {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operátornév {ch} (ix)=\cos x,\quad \operátornév {th} (ix)=i\operátornév {tg} x$ .

A Gudermann függvény a trigonometrikus és a hiperbolikus függvényeket komplex számok bevonása nélkül kapcsolja össze .

Fontos kapcsolatok

$\operátornév {ch} ^{2}x-\operátornév {sh} ^{2}x=1.$

Bizonyíték

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ jobb)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\jobb)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Páros/páratlan :
1. $\operátornév {sh} (-x)=-\operátornév {sh} x.$
2. $\operátornév {ch} (-x)=\operátornév {ch} x.$
3. $\operátornév {th} (-x)=-\operátornév {th} x.$
4. $\operátornév {cth} (-x)=-\operátornév {cth} x.$
5. $\operátornév {sch} (-x)=\operátornév {sch} x.$
6. $\operátornév {csch} (-x)=-\operátornév {csch} x+1.$
Kiegészítési képletek :
1. $\operátornév {sh} (x\pm y)=\operátornév {sh} x\,\operátornév {ch} y\pm \operátornév {sh} y\,\operátornév {ch} x.$
2. $\operátornév {ch} (x\pm y)=\operátornév {ch} x\,\operátornév {ch} y\pm \operátornév {sh} y\,\operátornév {sh} x.$
3. $\operátornév {th} (x\pm y)={\frac {\operátornév {th} x\pm \operátornév {th} y}{1\pm \operátornév {th} x\,\operátornév {th} y} }.$
4. $\operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y} }.$
Kettős szög képletek:
1. $\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x }}.$
2. $\operátornév {ch} 2x=\operátornév {ch} ^{2}x+\operátornév {sh} ^{2}x=2\operátornév {ch} ^{2}x-1=1+2\operátornév {sh} ^{2}x={\frac {1+\operátornév {th} ^{2}x}{1-\operátornév {th} ^{2}x}}.$
3. $\operátornév {th} 2x={\frac {2\operátornév {th} x}{1+\operátornév {th} ^{2}x}}.$
4. $\operátornév {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operátornév {th} x+\operátornév {cth} x).$
5. $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x }}.$
6. $\operátornév {ch} 2x\pm \operátornév {sh} 2x=(\operátornév {sh} x\pm \operátornév {ch} x)^{2}.$
Több szögképlet:
1. $\operátornév {sh} 3x=4\operátornév {sh} ^{3}x+3\operátornév {sh} x.$
2. $\operátornév {ch} 3x=4\operátornév {ch} ^{3}x-3\operátornév {ch} x.$
3. $\operátornév {th} 3x=\operátornév {th} x{\frac {3+\operátornév {th} ^{2}x}{1+3\operátornév {th} ^{2}x}}.$
4. $\operátornév {sh} 5x=16\operátornév {sh} ^{5}x+20\operátornév {sh} ^{3}x+5\operátornév {sh} x.$
5. $\operátornév {ch} 5x=16\operátornév {ch} ^{5}x-20\operátornév {ch} ^{3}x+5\operátornév {ch} x.$
6. $\operátornév {th} 5x=\operátornév {th} x{\frac {\operátornév {th} ^{4}x+10\operátornév {th} ^{2}x+5}{5\operátornév {th} ^ {4}x+10\operátornév {th} ^{2}x+1}}.$
Műalkotások:
1. $\operátornév {sh} x\,\operátornév {sh} y={\frac {\operátornév {ch} (x+y)-\operátornév {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operátornév {sh} x\,\operátornév {ch} y={\frac {\operátornév {sh} (x+y)+\operátornév {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operátornév {ch} x\,\operátornév {ch} y={\frac {\operátornév {ch} (x+y)+\operátornév {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operátornév {th} x\,\operátornév {th} y={\frac {\operátornév {ch} (x+y)-\operátornév {ch} (xy)}{\operátornév {ch} (x+y) +\operátornév {ch} (xy)}}.$
Összegek:
1. $\operátornév {sh} x\pm \operátornév {sh} y=2\operátornév {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operátornév {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\operátornév {ch} x+\operátornév {ch} y=2\operátornév {ch} {\frac {x+y}{2}}\operátornév {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operátornév {ch} x-\operátornév {ch} y=2\operátornév {sh} {\frac {x+y}{2}}\operátornév {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operátornév {th} x\pm \operátornév {th} y={\frac {\operátornév {sh} (x\pm y)}{\operátornév {ch} x\,\operátornév {ch} y)).$
Leminősítési képletek:
1. $\operátornév {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operátornév {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.$
Származékok :

Funkció $f(x)$	Derivált $f'(x)$	jegyzet
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \x$	Bizonyíték $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \ x$	Bizonyíték $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Bizonyíték $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac {1}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Bizonyíték $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x) )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \ x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Bizonyíték $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Bizonyíték $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integrálok : Lásd még: Hiperbolikus függvények integráljainak listája , Inverz hiperbolikus függvények integráljainak listája
1. $\int \operátornév {sh} x\,dx=\operátornév {ch} x+C.$
2. $\int \operátornév {ch} x\,dx=\operátornév {sh} x+C.$
3. $\int \operátornév {th} x\,dx=\ln \operátornév {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operátornév {ch} ^{2}x}}\,dx=\operátornév {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operátornév {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operátornév {cth} x+C.$
6. $\operátornév {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operátornév {ch} tdt.$
7. $\operátornév {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operátornév {sh} tdt.$
8. $\operátornév {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operátornév {ch} ^{2}t}}.$
A félszög hiperbolikus érintőjének ábrázolása :
1. $\operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operátornév {ch} x={\frac {1+\operátornév {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1-\operátornév {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
3. $\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operátornév {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1+\operátornév {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
6. $\operátornév {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Egyenlőtlenségek

Mindenki számára fut: $x\in \mathbb {R}$

$0\leq \operátornév {ch} x-1\leq |\operátornév {sh} x|<\operátornév {ch} x$
$|\operátornév {th} x|<1$

Teljesítménysorozat bővítése

\operátornév {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operátornév {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operátornév {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operátornév {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( Laurent sorozat )

\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Itt vannak a Bernoulli-számok és az Euler-számok . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Grafikonok

Analitikai tulajdonságok

A hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz a teljes komplex síkban analitikus , kivéve a végtelenben lévő lényegében szinguláris pontot . A hiperbolikus érintő mindenhol analitikus , kivéve a pontokban lévő pólusokat , ahol egy egész szám. A maradékok ezeken a pólusokon egyenlőek eggyel. A hiperbolikus kotangens mindenhol analitikus , kivéve a pontokat , ezeken a pólusokon a maradékai is eggyel egyenlők. $z=i\pi (n+1/2)$ $n$ $z=i\pi n$

Inverz hiperbolikus függvények

Más néven területfüggvényeknek nevezik őket: a megfelelő hiperbolikus függvények neve mellé az "area-" előtag kerül - latból. "terület" - "terület". A területfüggvények fő értékeit a következő kifejezések határozzák meg.

$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - inverz hiperbolikus szinusz, terület-szinusz.
$\operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — inverz hiperbolikus koszinusz, területi koszinusz.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - inverz hiperbolikus érintő, területi érintő.
$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — inverz hiperbolikus kotangens, területi kotangens.
$\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x));0<x\leq 1$ — inverz hiperbolikus szekáns, területi szekáns. Figyeljük meg, hogy a megoldás is kielégíti az egyenletet , de a területfüggvények fő értékei egyértékű függvények. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x))$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {sch} y=x}$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2)))){x))=\left\{{\begin {tömb}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — inverz hiperbolikus koszekáns, területi koszekáns.

Grafikonok

Kapcsolat néhány inverz hiperbolikus és inverz trigonometrikus függvény között:

\operátornév {Arsh} x=-i\operátornév {Arcsin} (-ix),

\operatorname {Arsh} (ix)=i\operátornév {Arcsin} x,

\operátornév {Arcsin} x=-i\operátornév {Arsh} (ix),

\operátornév {Arcsin} (ix)=-i\operátornév {Arsh} (-x),

\operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,

ahol i a képzeletbeli egység .

Ezek a funkciók a következő sorozatbővítéssel rendelkeznek:

\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\jobbra){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ left\vert x\right\vert <1;

\operátornév {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _ {n =1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\jobbra){ \frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} }{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

A külföldi szakirodalomban az inverz hiperbolikus függvényeket gyakran elsőfokú mínuszjellel jelölik: például úgy írják, hogy (és egy másik függvényt jelöl - ), stb. $\operátornév {Arth} \,x$ $\operátornév {tanh} ^{-1}x$ $(\operátornév {tanh} \,x)^{-1}$ $\operátornév {cth} \,x$

Történelem

A történészek Abraham de Moivre angol matematikus ( 1707 , 1722 ) írásaiban fedezték fel a hiperbolikus függvények első megjelenését . Modern meghatározást és részletes tanulmányozásukat Vincenzo Riccati készítette 1757 -ben ("Opusculorum", I. kötet), ő javasolta elnevezéseiket is: , . Riccati egyetlen hiperbola figyelembevételéből indult ki (lásd az ábrát a #Definíció részben ) . $\operátornév {sh}$ $\operátornév {ch}$

A hiperbolikus függvények tulajdonságainak független felfedezését és további vizsgálatát Johann Lambert ( 1768 ) végezte, aki széles párhuzamosságot állapított meg a közönséges és a hiperbolikus trigonometria képletei között. N. I. Lobacsevszkij ezt követően ezt a párhuzamosságot használta, és megpróbálta bebizonyítani a nem euklideszi geometria következetességét , amelyben a körkörös trigonometriát hiperbolikus váltja fel.

Némi következetlenség alakult ki a hiperbolikus függvények jelölésében. Például a Brockhaus és Efron enciklopédiájában a , elnevezést használják, az orosz nyelvű irodalomban beépült , az angol nyelvű irodalomban pedig beépültek . $\operátornév {sinhyp}$ $\operátornév {coshyp}$ $\operátornév {sh} ,\operátornév {ch}$ $\sinh ,\cosh$

Alkalmazás

A hiperbolikus függvények gyakran előfordulnak különféle integrálok számításánál . A racionális függvények és a gyököket tartalmazó függvények egyes integráljai meglehetősen egyszerűen kiszámíthatók a változók hiperbolikus függvényekkel történő megváltoztatásával.

Ugyanúgy, ahogy a nézetmátrixok kétdimenziós euklideszi térben írják le a forgásokat, a mátrixok a legegyszerűbb kétdimenziós Minkowski-térben írják le a forgásokat . Emiatt a relativitáselméletben gyakran előfordulnak hiperbolikus függvények . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

A végein szabadon felfüggesztett egységes kötél vagy lánc egy függvény gráfjaként jelenik meg (amihez kapcsolódóan a hiperbolikus koszinusz gráfot néha felsővezetéknek nevezik ). Ezt a körülményt az ívek tervezésénél alkalmazzák , mivel az ív fordított felsővezeték alakja osztja el a leghatékonyabban a terhelést. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Irodalom

Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Felső matematika. Differenciál egyenletek. Több integrál. Sorok. Egy komplex változó függvényei. - Moszkva: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Hiperbolikus függvények - Gostekhizdat, 1954. - 58 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). — 25.000 példány.
A. R. Yanpolsky. hiperbolikus függvények. - Moszkva, 1960. - 195 p.

Linkek

GonioLab : Trigonometrikus és hiperbolikus függvények interaktív bemutatója a Java Web Start-on
TSB: Matematikai jelek
Inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvények (angol)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy Szovjet (1 kiadás) Brockhaus és Efron Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553