Laplace transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Laplace-transzformáció (ℒ) egy integrál transzformáció, amely egy komplex változó ( kép ) függvényét egy valós változó ( eredeti ) függvényével kapcsolja össze. Segítségével dinamikus rendszerek tulajdonságait vizsgáljuk , differenciál- és integrálegyenleteket oldunk meg . $\F(ek)$ $\f(x)$

A Laplace-transzformáció egyik jellemzője, amely előre meghatározta széleskörű alkalmazását a tudományos és mérnöki számításokban, hogy az eredetieken sok arány és művelet megfelel a képeken látható egyszerűbb arányoknak. Így két függvény konvolúciója a képek terében a szorzás műveletére redukálódik, és a lineáris differenciálegyenletek algebraivá válnak.

Definíció

Közvetlen Laplace transzformáció

Valós változó függvényének Laplace-transzformációja egy komplex változó függvénye [ 1] , így: $\f(t)$ $\F(ek)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

Ennek a kifejezésnek a jobb oldalát Laplace-integrálnak nevezzük .

A függvényt eredetinek nevezzük a Laplace-transzformációban, a függvényt pedig a függvény képének . $f(t)$ $F(ek)$ $f(t)$

Az irodalomban az eredeti és a kép kapcsolatát gyakran a következőképpen jelölik: és , a képet pedig általában nagybetűvel írják. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Inverz Laplace transzformáció

Egy komplex változó függvényének inverz Laplace-transzformációja egy valós változó függvénye úgy, hogy : $F(s)\$ $f(t)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

hol van valami valós szám (lásd a létezési feltételeket ). Ennek a kifejezésnek a jobb oldalát Bromwich integrálnak [2] nevezzük . $\sigma _{1}\$

Kétirányú Laplace transzformáció

A kétoldalas Laplace-transzformáció olyan problémák általánosítása, amelyekben a függvény értékei érintettek . $f(x)\$ $x<0$

A kétoldalas Laplace-transzformációt a következőképpen határozzuk meg:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Diszkrét Laplace transzformáció

A számítógépes vezérlőrendszerek területén használják. A diszkrét Laplace-transzformáció alkalmazható rácsfüggvényekre.

Különbséget tegyen -transzformáció és -transzformáció között. $D\$ $Z\$

$D\$ -átalakítás

Legyen rácsfüggvény, vagyis ennek a függvénynek az értékeit csak diszkrét időpontokban határozzuk meg , ahol egy egész szám és a mintavételi periódus. $x_{d}(t)=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $nT\$ $n\$ $T\$

Ezután a Laplace-transzformációt alkalmazva a következőket kapjuk:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -átalakítás

Ha alkalmazzuk a változók következő változását:

z=e^{{sT}},

-transzformációt kapunk : $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Tulajdonságok és tételek

Abszolút konvergencia

Ha a Laplace - integrál abszolút értékben konvergál , akkor van egy határ $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty }}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

akkor abszolút és egyenletesen konvergál és analitikus függvénye ( a komplex változó valós része ). A számhalmaz pontos infimumát , amely mellett ez a feltétel teljesül, a függvény Laplace-transzformációjának abszolút konvergenciájának abszcisszájának nevezzük . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F(ek)$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

A közvetlen Laplace-transzformáció létezésének feltételei

A Laplace-transzformáció abszolút konvergencia értelmében a következő esetekben létezik: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : a Laplace-transzformáció létezik, ha az integrál létezik ; $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : a Laplace-transzformáció létezik, ha az integrál létezik minden végesre és -ra ; $\int \limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ vagy (amelyik korlát nagyobb): Laplace-transzformáció létezik, ha létezik Laplace-transzformáció a függvényre ( deriváltja ) -ra . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Megjegyzés : ezek elegendő feltételek a létezéshez.

Az inverz Laplace-transzformáció létezésének feltételei

Az inverz Laplace-transzformáció létezéséhez elegendő a következő feltételek teljesülése:

Ha a kép analitikus függvény a -1-nél kisebb, akkor az inverz transzformáció létezik, és az argumentum minden értékére folytonos, és -1 esetén . $F(ek)$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Legyen , tehát minden elemre nézve analitikus és nullával egyenlő , és esetén, akkor létezik az inverz transzformáció, és a megfelelő közvetlen transzformációnak abszolút konvergenciájú abszcisszája van. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{{ak}}\colon k=1,\; 2,\;\lpontok ,\;n)$

Megjegyzés : ezek elegendő feltételek a létezéshez.

Konvolúciós tétel

Két eredeti konvolúciójának Laplace-transzformációja ezen eredetiek képeinek szorzata:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x )\}.

Bizonyíték

A konvolúcióhoz

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Laplace transzformáció:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Egy új változóhoz $t=xy,\;x=t+y$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\left\{g(x)\jobbra\}

■

Képszaporítás

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

Ennek a kifejezésnek a bal oldalát Duhamel integrálnak nevezzük , amely fontos szerepet játszik a dinamikus rendszerek elméletében .

Az eredeti megkülönböztetése és integrálása

Az eredeti első származékának az argumentumhoz viszonyított Laplace szerinti képe a kép és az utóbbi argumentumának a szorzata, mínusz az eredeti nullánál a jobb oldalon:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

Általánosabb esetben ( harmadrendű derivált) : $n$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n) -1)}(0^{+}).

Az eredeti integráljának Laplace-képe az argumentumhoz képest az eredeti képe osztva argumentumával:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Képdifferenciálás és integráció

A kép deriváltjának inverz Laplace-transzformációja az argumentumhoz képest az eredeti és argumentuma szorzata, ellenkező előjellel:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

A kép integráljának inverz Laplace-transzformációja az argumentum fölött ennek a képnek az eredetije, osztva az argumentumával:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Az eredeti dokumentumok és képek késése. Határtételek

Képkésés:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Eredeti késés:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

hol van a Heaviside függvény . $H(x)$

Kezdő és végső érték tételek (határtételek):

f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

ha a függvény minden pólusa a bal félsíkban van.

sF(s)

A véges érték tétel nagyon hasznos, mert egyszerű összefüggéssel írja le az eredeti végtelenben való viselkedését. Ezt használják például egy dinamikus rendszer pályájának stabilitásának elemzésére.

Egyéb tulajdonságok

Linearitás :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Szorzás számmal:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right).

Egyes függvények közvetlen és inverz Laplace transzformációja

Az alábbiakban néhány függvény Laplace transzformációs táblázata látható.

Nem.	Funkció	Időtartomány $x(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	frekvenciatartomány $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	A kauzális rendszerek konvergencia tartománya
egy	delta függvény	$\delta (t)\$	$egy\$	$\mindig\$
1a	késleltetett delta funkció	$\delta (t-\tau )\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	-edik sorrendi késleltetés frekvencia eltolással $n$	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau )))\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>0$
2a	hatalom -th rend $n$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{n+1)))$	$s>0$
2a.1	hatalom -th rend $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{q+1))))$	$s>0$
2a.2	Heaviside funkció	$H(t)\$	${\frac {1}{s))$	$s>0$
2b	késleltetett Heaviside funkció	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	$s>0$
2c	"gyors lépés"	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0$
2d	$n$ -edik sorrend frekvencia eltolással	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>-\alpha$
2d.1	exponenciális bomlás	$e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha ))$	$s>-\alpha\$
3	exponenciális közelítés	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )))$	$s>0\$
négy	sinus	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
5	koszinusz	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$s>0\$
6	hiperbolikus szinusz	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
7	hiperbolikus koszinusz	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
nyolc	exponenciálisan bomló szinusz	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
9	exponenciálisan bomló koszinusz	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
tíz	th gyökér $n$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\jobbra)$	$s>0$
tizenegy	természetes logaritmus	$\ln \left({\frac {t}{t_{0))}\right)\cdot H(t)$	$-{\frac {t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	Az első típusú sorrend Bessel-függvénye $n$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	az első típusú rend módosított Bessel-függvénye $n$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega ^{2}}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
tizennégy	a második típusú nulladrendű Bessel-függvény	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
tizenöt	módosított Bessel-függvény a második típusú nulla rendű	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
16	hiba funkció	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	$s>0$
Táblázat megjegyzései: $H(t)\$ a Heaviside függvény ; $\delta (t)\$ - delta funkció ; $\Gamma (z)\$ - gamma függvény ; $\gamma \$ az Euler-Mascheroni állandó ; $t\$ valódi változó; $s\$ összetett változó; $\alpha \$ , , és valós számok ; $\beta\$ $\tau \$ $\omega \$ $n\$ egy egész szám . A kauzális rendszer olyan rendszer, amelyben az impulzusátviteli függvény bármely időpillanatban nulla . $h(t)\$ $t<0\$

A Laplace-transzformáció alkalmazásai

A Laplace-transzformáció széles körben alkalmazható a matematika ( operatív számítás ), a fizika és a mérnöki tudomány számos területén :

Differenciál- és integrálegyenletrendszerek megoldása - a Laplace-transzformáció segítségével könnyen áttérhetünk a matematikai elemzés összetett fogalmairól az egyszerű algebrai összefüggésekre. [3]
Dinamikus rendszerek, például analóg szűrők átviteli függvényeinek kiszámítása .
A dinamikus rendszerek kimeneti jeleinek kiszámítása a vezérléselméletben és a jelfeldolgozásban - mivel egy lineáris stacioner rendszer kimenőjele megegyezik az impulzusválasz konvolúciójával a bemeneti jellel, a Laplace-transzformáció lehetővé teszi, hogy ezt a műveletet egy egyszerű szorzással helyettesítse. .
Elektromos áramkörök számítása. Az áramkört operátori módszerrel leíró differenciálegyenletek megoldásával állítják elő.
A matematikai fizika nemstacionárius problémáinak megoldása .

A differenciálegyenlet megoldásának folyamata a Laplace-transzformáció segítségével a következő:

Az adott bemeneti effektusnak megfelelően a megfelelési táblázatok segítségével egy képet találunk.
A d.s. hozzon létre egy átviteli függvényt.
Keresse meg az 1. és 2. pont nagyságrendi képét!
Határozza meg az eredetit. [négy]

Kapcsolat más transzformációkkal

Alapvető összefüggések

Szinte minden integráltranszformáció hasonló természetű, és megfeleltetési kifejezéseken keresztül megkapható egymástól. Sok közülük más átalakulások speciális esetei. Továbbá olyan képletek vannak megadva, amelyek a Laplace-transzformációkat más funkcionális transzformációkkal kapcsolják össze.

Laplace-Carson transzformáció

A Laplace-Carson-transzformációt (néha csak Carson-transzformációnak hívják, néha nem egészen helyesen használják a Carson-transzformációt, Laplace-transzformációnak nevezik) a Laplace-transzformációból kapjuk, ha a képet egy komplex változóval megszorozzuk:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

A Carson-transzformációt széles körben alkalmazzák az elektromos áramkörök elméletében, hiszen egy ilyen transzformációnál a kép és az eredeti méretei egybeesnek, így az átviteli függvények együtthatóinak fizikai jelentése van.

Kétirányú Laplace transzformáció

A kétoldalas Laplace -transzformációt a következő képlet segítségével kapcsoljuk össze az egyoldalas Laplace-transzformációval: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

Fourier transzformáció

A folytonos Fourier-transzformáció ekvivalens a kétoldalas Laplace-transzformációval, összetett argumentummal : $s=i\omega$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Megjegyzés: Ezek a kifejezések kihagyják a skálázási tényezőt , amely gyakran szerepel a Fourier-transzformáció definícióiban. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

A Fourier - és Laplace - transzformációk közötti kapcsolatot gyakran használják egy jel vagy dinamikus rendszer frekvenciaspektrumának meghatározására .

Mellin transzformáció

A Mellin-transzformáció és az inverz Mellin-transzformáció a változók egyszerű megváltoztatásával kapcsolódik a kétoldali Laplace-transzformációhoz. Ha a Mellin transzformációban

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta )}{\theta }}\,d\theta

beállítjuk , akkor megkapjuk a kétoldalas Laplace transzformációt. $\theta =e^{{-x}}$

Z-transzformáció

$Z$ A transzformáció egy rácsfüggvény Laplace-transzformációja, amelyet változók változtatásával hajtunk végre:

z\equiv e^{{sT}},

ahol a mintavételezési periódus és a jel mintavételezési frekvenciája . $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

A kapcsolatot a következő összefüggéssel fejezzük ki:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{{z=e^{{sT))))

Borel transzformáció

A Borel -transzformáció integrál alakja megegyezik a Laplace-transzformációval, van egy általánosított Borel-transzformáció is , amellyel a Laplace-transzformáció használatát kiterjesztik a függvények szélesebb osztályára.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Az orosz irodalomban is jelölik . Lásd például Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 256 p. $\scriptstyle {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. A felsőoktatási intézmények speciális felsőfokú matematikai kurzusa. - M., Felsőiskola , 1970. - p. 231
↑ Vascsenko-Zakharchenko M.E. Szimbolikus számítás és alkalmazása lineáris differenciálegyenletek integrálására. - Kijev, 1862.
↑ Kisméretű pilóta nélküli légijárművek csoportjának automatikus vezérlőrendszerének felépítése // Információs technológiák és számítástechnikai rendszerek. — 2018-03-20. — ISSN 2071-8632 . - doi : 10.14357/20718632180109 .

Irodalom

Van der Pol B., Bremer H. . Műveleti számítás a kétoldali Laplace-transzformáció alapján. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1952. - 507 p.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Integráltranszformációk és műveleti számítások. - M. : A Nauka kiadó fizikai és matematikai szakirodalmának főkiadása, 1974. - 544 p.
Ditkin V. A., Kuznyecov P. I.. Az operatív számítások kézikönyve: Az elmélet alapjai és a képlettáblázatok. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 256 p.
Carslow H., Jaeger D. . Műveleti módszerek az alkalmazott matematikában. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1948. - 294 p.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Fourier-sorok és integrálok. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace-transzformációk. — M .: Nauka, 1964. — 184 p.
Krasznov M. L., Makarenko G. I.. műveleti kalkulus. Mozgásstabilitás. — M .: Nauka, 1964. — 103 p.
Mikusinsky Ya . Operátori kalkulus. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1956. - 367 p.
Romanovszkij P.I. Fourier sorozat. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace-transzformációk. - M. : Nauka, 1980. - 336 p.

Linkek

Laplace-transzformáció és néhány tulajdonsága (dsplib.org) Archiválva : 2018. augusztus 12. a Wayback Machine -nél
Laplace transzformáció az exponenta.ru oldalon

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai nagy kínai Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119531733 J9U : 987007555498105171 LCCN : sh85074666 NDL : 00567362 NKC : ph117703