Heaviside funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

A Heaviside függvény ( egységlépcsős függvény , egységugrás függvény , benne egység , "lépés" ) egy darabonként állandó függvény , amely egyenlő nullával az argumentum negatív értékeihez és eggyel a pozitív értékekhez [1] . Nullánál ez a függvény általában nincs definiálva, de rendszerint ezen a ponton kibővítik egy bizonyos számmal úgy, hogy a függvény tartománya tartalmazza a valós tengely összes pontját. Leggyakrabban nem mindegy, hogy a függvény milyen értéket vesz fel nullánál, ezért a Heaviside függvény különféle definíciói használhatók, amelyek valamilyen okból kényelmesek , például:

\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

A Heaviside függvény könnyen írható az Iverson zárójellel :

\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].

A Heaviside-függvényt széles körben használják a vezérléselmélet és a jelfeldolgozás - elmélet matematikai berendezésében, hogy olyan jeleket ábrázoljanak, amelyek egy adott időpontban egyik állapotból a másikba kerülnek. A matematikai statisztikákban ezt a függvényt például az empirikus eloszlásfüggvény írásához használják . Oliver Heaviside után kapta a nevét .

A Heaviside függvény a Dirac delta függvény antideriváltja , , amely így is felírható (a határozott integrál egy szám, a határozatlan integrál [2] az antiderivált leírására szolgál ): $\theta '=\delta$

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\!\delta (t)\,dt.

Diszkrét forma

A diszkrét Heaviside függvény egy egész argumentum függvényeként definiálható : $n$

\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}

hol van egy egész szám . $n$

A diszkrét egységimpulzus az első különbség a diszkrét Heaviside függvény között:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Analitikus formák

A kényelmesebb használat érdekében a Heaviside funkció egy folyamatos funkcióval közelíthető:

\theta (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {th}}\,kx={\frac {1}{1+e^ {{-2kx}}}},

ahol a nagyobb a függvény meredekebb emelkedésének felel meg a pontban . A Heaviside függvény átmeneti tartományának szükséges szélességét figyelembe véve az érték a következőképpen becsülhető meg . $k$ $x=0$ $\Delta {x}$ $k$ $k\körülbelül {\frac {10}{\Delta {x}}}$

Ha elfogadjuk , az egyenletet korlátozó formában írhatjuk fel: $\theta(0)=1/2$

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {1}{2}}(1+{\mathrm {th}}\,kx)=\lim _{{k\ ide: \infty }}{\frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Számos további közelítés létezik folytonos függvényekkel:

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}} \,kx\jobbra);

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,{\mathrm {erf} }\,kx\jobbra).

Felvétel

Az identitásfüggvény integrált formáját gyakran használják, és ez hasznos:

\theta (x)=-\lim _{{\varepsilon \to 0^{+}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{-\infty }}^{ \infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{{-ix\tau }}\,d\tau .

Nulla érték

Egy függvény nullán lévő értékét gyakran , vagy ként adják meg . - a legelterjedtebb lehetőség, mivel az első típusú szakadási pont szimmetria miatt célszerű a függvényt a megfelelő egyoldali határértékek számtani átlagával kiterjeszteni, ráadásul ebben az esetben a Heaviside függvény a jelfüggvényhez kapcsolódik : $\theta(0)=0$ $\theta(0)=1/2$ $\theta(0)=1$ $\theta(0)=1/2$

\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operátornév{sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2} },&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

amely az előjelfüggvény definícióját figyelembe véve úgy fejezhető ki

\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{ 2x}}

A nulla értéke kifejezetten megadható egy függvénybejegyzésben:

\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

Fourier transzformáció

A Heaviside függvény deriváltja egyenlő a delta függvénnyel (vagyis a Heaviside függvény a delta függvény antideriváltja):

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\delta (t)\,dt

Ezért a Fourier-transzformációt az antiderivatív delta függvényre alkalmazva megkapjuk a képét a következő alakról: $\théta (t)$

{\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),

vagyis:

\theta (t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1 }{2}}\delta (\omega )\right)e^{{i\omega t}}\,d\omega

(a második tag - amely a bővítésben a nulla frekvenciának felel meg - a Heaviside-függvény állandó felfelé tolását írja le; enélkül páratlan függvényt kapunk ).

Történelem

Ezt a funkciót még a kényelmes jelölés megjelenése előtt használták. Például Guglielmo Libri az 1830-as években számos közleményt [3] [4] publikált a funkcióról . Véleménye szerint egyenlő azzal, ha ; if (lásd Nulla a nulla hatványáig ); vagy ha . Így a Libri arra a következtetésre jut, hogy egyenlő 1-gyel, ha , és 0 ellenkező esetben. Iverson jelöléssel ezt így lehetne felírni $0^{0^{x))$ ${\displaystyle 0^{x))$ $0$ $x>0$ $egy$ $x=0$ $\infin$ $x<0$ $0^{0^{x))$ $x>0$

0^{0^{x}}=[\,x>0\,].

Ekkoriban azonban még nem volt ilyen jelölés, a Libri pedig vívmánynak tekintette, hogy ezt a függvényt szabványos matematikai műveletekkel lehetett kifejezni. Ezt a függvényt az abszolút érték kifejezésére használta (akkor még nem volt jelölés , később Weierstrass vezette be ) és olyan feltételek jelzőjét , mint például a , sőt " osztó " [5] . $|x|$ $a\leq x\leq b$ $x$ $y$

Lásd még

Jegyzetek

↑
Az automatikus vezérlés elméletében és a Laplace-operátorok elméletében gyakran jelölik . Az angol irodalomban vagy gyakran jelölik . Lásd pl. $\scriptstyle {\eta (x)}$ $\scriptstyle {H(x)}$ $\scriptstyle {1(x)}$
- Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Integrált transzformációk és műveleti számítások: Proc. egyetemeknek / Szerk. Kr. Zarubina, A. P. Kriscsenko. - 2. kiadás - M . : MSTU kiadó im. N. E. Bauman, 2002. - 228 p. — (Matematika a Műszaki Egyetemen; XI. szám). — ISBN 5-7038-1273-9 . ;
- Az automatikus vezérlés klasszikus és modern elméletének módszerei : Tankönyv 5 kötetben; 2. kiadás, átdolgozva. és további 1. kötet: Automatikus vezérlőrendszerek matematikai modelljei, dinamikus jellemzői és elemzése / Szerk. K. A. Pupkova, N. D. Egupova. - M .: MSTU kiadó im. N. E. Bauman, 2004. - 656 p. - ISBN 5-7038-2189-4 (1. kötet).
↑ Zorich V.A. Matematikai elemzés. I. rész .. - M.: MTSNMO, 2012. - S. 358.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . A Mémoire sur les fonctions megszűnik, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ Donald E. Knuth, Két megjegyzés a jelölésekről, Amer. Math. Havi 99 sz. 5 (1992. május), 403-422 ( arXiv: math/9205211 [math.HO] Archiválva : 2018. november 20. a Wayback Machine -nél ).