Delta függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

A delta függvény (vagy delta mérték, δ - függvény, δ -Dirac függvény, Dirac delta, egységimpulzusfüggvény ) egy általánosított függvény , amely lehetővé teszi egy pontművelet, valamint a fizikai mennyiségek (tömeg, töltés, stb.) térbeli sűrűségének rögzítését. hőforrás intenzitása, erő stb. ), koncentrált vagy egy ponton alkalmazott.

Például az egydimenziós euklideszi tér a pontjában elhelyezkedő m egységnyi ponttömeg sűrűségét egy -függvénnyel írjuk fel a Delta függvény alakban, amely szintén alkalmazható a töltés, tömeg stb. eloszlásának leírására felületeken vagy vonalakon . . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

Az írás általános formája ellenére a -függvény nem egy valós változó függvénye, hanem általánosított függvényként definiálható : folytonos lineáris függvény a differenciálható függvények terén. Bevezethet egy deriváltot a δ-függvényhez, amely egyben általánosított függvény is lesz, és egy integrált, amelyet Heaviside-függvényként definiálunk . Könnyű megtalálni a közönséges klasszikus függvények sorozatait, amelyek gyengén konvergálnak egy -függvényhez. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Különbséget lehet tenni az egydimenziós és a többdimenziós deltafüggvények között, ez utóbbi azonban egydimenziós függvények szorzataként ábrázolható a tér dimenziójával megegyező mennyiségben, amelyen a többdimenziós függvény definiált.

Paul Dirac angol fizikus mutatta be .

Definíciók

Különféle nézetek léteznek a delta-függvény fogalmával kapcsolatban. Az így kapott objektumok szigorúan véve különbözőek, de számos közös jellemző tulajdonságuk van. Az alább jelzett összes konstrukció természetesen általánosít a nagyobb dimenziójú terek esetére . $(\R^n,\n>1)$

Egyszerű definíció

Egy valós változó delta függvénye (Dirac függvény) olyan függvényként definiálható, amely teljesíti a következő feltételeket: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{mátrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{mátrix}\jobbra.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Vagyis ez a függvény nem egyenlő nullával csak azon a ponton, ahol a végtelenbe fordul, így az integrálja bármely szomszédság felett egyenlő 1-gyel. Ebben az értelemben a delta függvény fogalma hasonló a pont fizikai fogalmaihoz. tömeg vagy ponttöltés . Az integrál megértéséhez célszerű elképzelni egy bizonyos ábrát egy egységnyi területű síkon , például egy háromszögben . Ha ennek a háromszögnek az alapját lecsökkentjük és a magasságot úgy növeljük, hogy a terület változatlan maradjon, akkor korlátozó esetben egy kis bázisú és nagyon nagy magasságú háromszöget kapunk. Feltételezve, hogy területe egyenlő az egységgel, amit az integrál mutat. Háromszög helyett bármilyen ábrát használhat az általánosság elvesztése nélkül. Hasonló feltételek igazak a -n definiált delta függvényekre $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Ezeket az egyenlőségeket általában nem tekintik a delta-függvény definíciójának, de sok fizika tankönyvben így definiálják, és ez elegendő a delta-függvény pontos meghatározásához. Vegye figyelembe, hogy a delta függvénynek ez a definíciója a következő egyenlőséget jelenti

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(szűrő tulajdonság) bármely f függvényre . Valójában a -nél lévő tulajdonság miatt ennek az integrálnak az értéke nem változik, ha a függvényt a függvényre cseréljük , amely a pontban egyenlő , és más pontokban tetszőleges értékei vannak. Például vesszük , majd kivesszük az integráljelből, és a delta függvény definíciójában szereplő második feltételt felhasználva megkapjuk a kívánt egyenlőséget. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\operátornév {const}$ $f(y)$

A delta függvény deriváltjai is szinte mindenhol egyenlők 0-val, és -ben alakulnak át . $\pm\infty$ $x=0$

Klasszikus definíció

A delta függvényt lineáris folytonos függvényként határozzuk meg valamilyen függvénytéren ( a tesztfüggvények tere ). A céltól és a kívánt tulajdonságoktól függően ez lehet a függvények tere kompakt támogatással , a végtelenben gyorsan csökkenő függvények tere , a sokaságon lévő sima függvények , az analitikus függvények stb. Egy jó delta függvény deriváltjainak meghatározása érdekében tulajdonságok esetén a főfüggvényeket minden esetben végtelenül differenciálhatónak vesszük, a főfüggvények terének is teljes metrikus térnek kell lennie . Az általános függvények általános megközelítését a kapcsolódó cikkben találja . Az ilyen általánosított függvényeket eloszlásnak is nevezik .

Megfontoljuk a legegyszerűbb lehetőséget. Az alapfüggvények tereként az összes korlátlanul differenciálható függvény terét tekintjük az intervallumon. A sorozat ahhoz konvergál, ha bármely kompakt halmazon a függvények egyenletesen konvergálnak az összes deriváltjával együtt: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Ez egy lokálisan konvex mérhető tér. A delta függvényt olyan funkcionálisként definiáljuk , amely $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

A folytonosság azt jelenti, hogy ha , akkor . Itt látható a függvény értéke . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Colombo delta függvény

A delta függvénnyel dolgozó integrál kifejezés az általánosított Colombo -függvények algebra elméletének ( angolul Colombeau algebra ) keretein belül az intuitívhez közeli jelentést kaphat [1] .

Legyen korlátlanul differenciálható függvények halmaza kompakt támogatással, azaz csak korlátos halmazon nem egyenlő nullával. Tekintsünk egy függvénykészletet $\mathcal{D}$ $f\colon\R\to\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\right\}.

Az általánosított függvény olyan függvények ekvivalencia-osztálya, amelyek végtelenül differenciálhatók x -hez képest, és eleget tesznek egy bizonyos mérséklési feltételnek (feltételezve , hogy az x -hez viszonyított összes deriváltja meglehetősen lassan növekszik -nél ). Két függvényt ekvivalensnek feltételezünk, ha , ahol a függvények egy másik osztálya a növekedés korlátozásával $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepszilon\ 0-ra$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepszilon\ 0-ra.$

A deltafüggvény definíciója: A Colombo-megközelítés előnye, hogy az általánosított függvényei kommutatív asszociatív algebrát alkotnak, míg az integráció, a differenciálás, a határértékek, a pontonkénti páros érték fogalma természetesen kiterjed az általánosított függvények halmazára is. Ebben az értelemben a delta-függvény valóban mindenhol 0-val egyenlő függvénynek tekinthető, kivéve a 0 pontban, és nullánál a végtelennel egyenlő, mivel Colombo elmélete magában foglalja a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi számok elméletét, hasonlóan a nem szabványos elemzéshez . . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Egorov megközelítése

Az általánosított függvények hasonló elméletét Yu. V. Egorov [2] munkájában mutatta be . Bár nem egyenértékű a Colombo elmélettel, a tervezés sokkal egyszerűbb, és rendelkezik a legtöbb kívánt tulajdonsággal.

Az általánosított függvény sorozatok ekvivalenciaosztálya. A sorozatokat akkor tekintjük egyenértékűnek, ha bármely kompakt halmaz esetén a sorozatok függvényei egy számból indulva egybeesnek: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $f$ $\tilde f$ $\Omega\Subset\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

A sorozatokkal végzett mindenféle művelet (szorzás, összeadás, integráció, differenciálás, összetétel, ...) komponensenként van meghatározva. Például az I halmazintegrál a sorozat ekvivalencia osztályaként van definiálva

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Két általánosított függvény gyengén egyenlő, ha bármely végtelenül sima függvényre $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

Ebben az esetben a delta függvényt bármilyen delta alakú sorozat határozza meg (lásd alább ), az összes ilyen általánosított függvény gyengén egyenlő.

Tulajdonságok

A delta függvény páros .
A delta függvény integrálja bármely nullát tartalmazó intervallumon, azaz olyan intervallumon, ahol és tetszőleges valós pozitív számok, egyenlő 1-gyel. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , ahol a függvény egyszerű nullái vannak . $x_k$ $f(x)$

Az egydimenziós delta függvény antideriváltja a Heaviside függvény :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{tömb} }\jobb.

A delta függvény szűrési tulajdonsága:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

A δ-függvény gyenge határként

Hadd $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Aztán a sorrend

f_n(x)=nf(nx)

gyengén konvergál a -függvényhez. $\delta$

Egy olyan integrálható függvény választása, amelynek határozott integrálja 1-gyel egyenlő a -tól ig terjedő tartományban, tetszőleges. $f(x),$ ${\displaystyle {-\infty ))$ ${\displaystyle {+\infty ))$

Például, ahogy kiválaszthatja a sinc : függvényt , megadva a sorrendet: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Ha megkövetelik, hogy a sorozatban minden függvény mindenhol pozitív legyen, választhatunk például a normalizált Gauss-függvényt vagy bármely más, mindenhol nem negatív függvényt, amelynek integrálja 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Integrálábrázolás

Sok alkalmazásban a delta függvény integrált ábrázolása kényelmesnek bizonyul:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Bizonyíték

Tekintsük az integrált

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(egy)

ami a határként értelmezhető

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

ahol

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Ismeretes, hogy

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

A (3) alapján bármely , az egyenlőség igaz: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(négy)

Megmutatható ( lásd fent ), hogy N korlátlan növekedésével a (2) függvényre a delta függvény minden tulajdonsága igaznak bizonyul, és bizonyos értelemben hajlamos $\delta(t).$

A delta függvény származéka

A delta függvény deriváltjának meghatározása szerint : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(a részekkel történő integráció kiterjesztése delta függvényt tartalmazó integrandusok esetére).

Hasonlóan a delta függvény n- edik deriváltjára:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

És n -szeres részenkénti integráció után végre megkapjuk:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\részleges x^n}\jobbra|_{x=a}.

A delta függvény deriváltjára a következő azonosság érvényes:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

amelyet a termék megkülönböztetésével kaphatunk . $f(x)\delta(x)$

Fourier transzformáció

Ebben a részben az egységegyüttható-konvenciónak megfelelő normalizálást alkalmazzuk az inverz transzformációban, azaz szem előtt tartva $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Az ebben a szakaszban található képletek megfelelő analógokkal rendelkeznek a többdimenziós Fourier-transzformációhoz.

A Fourier transzformáció alkalmazható a delta függvényre :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Így egy delta-függvény spektruma (Fourier-transzformáció), amelynek középpontja , egy "hullám" a frekvenciatérben, amelynek "periódusa" van . Konkrétan egy nulla középpontú delta-függvény spektruma (Fourier-transzformáció) egy állandó (laza értelemben egy végtelenül nagy „periódusú” „hullám”): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

Ennek megfelelően, éppen ellenkezőleg, a delta-függvény egy tiszta harmonikus függvény vagy állandó Fourier-transzformációja.

Többdimenziós delta függvények ábrázolása különböző koordinátarendszerekben

N - dimenziós térben derékszögű koordinátákkal (ortonormális alap):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

2D térben:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

Poláris koordinátákban:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- az origóhoz képest eltolatlan (szingularitás r = 0 -nál ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— szingularitás egy általános pozícióban r = 0 esetén nullával meghosszabbodik.

(r_0,\;\varphi_0);

3D térben:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

Hengeres koordinátarendszerben :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— az origóhoz képest eltolatlan (a szingularitás mellett ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— szingularitás egy általános pozícióban r = 0 esetén nullával meghosszabbodik.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

Szférikus koordináta-rendszerben :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- az origóhoz képest eltolatlan ( r = 0 szingularitás mellett ). Az origó szingularitású képleteiben gyakran kétszer akkora együtthatókat használnak (1/π hengeres és poláris, 1/2π gömb alakú együtthatókat). Ez abból adódik, hogy az integrálási eredményt kétszer kisebbnek tételezzük fel, ha a szinguláris pont pontosan az integrációs intervallum határán van.

Fizikai értelmezés

A feltöltött pont közelében a mező végtelen, a mezőre vonatkozó Taylor-sorok nem konvergálnak, ezért speciális függvények kerülnek bevezetésre. Az egyik ilyen függvény a delta függvény. A ponttöltésű részecske mezőjének kérdése viszonylag bonyolult, ezért nézzünk először egy egyszerűbb példát.

Instant Boost

Hagyja, hogy az egyenes vonal mentén haladni tudó részecske elhanyagolható időtartamú becsapódás esetén hirtelen sebességet vegyen fel. Tegyük fel magunknak a kérdést: hogyan számítsuk ki a test által elért gyorsulást? Készítsünk grafikont a sebesség időbeli változásáról. A grafikon így fog kinézni:

Ez a gráf szinte mindenhol a Heaviside függvény gráfja . A Heaviside-függvény deriváltja egy egységnyi deltafüggvény, amelynek grafikonja hagyományosan így ábrázolható.

Ez a grafikon végtelen gyorsulást jelenít meg pillanatnyi gyorsulással. Általában az ütközési gyorsulást így írhatjuk fel

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Egy anyagi pont tömege/töltése

Ha meg kell találni egy bizonyos sűrűségeloszlás (vagy töltéssűrűség ) össztömegét (teljes töltést) , amely a folytonos komponens mellett ponttömegeket (töltéseket) is tartalmaz , akkor célszerű egy külön-külön vett képlet helyett. figyelembe véve a folytonos végső sűrűséget és a diszkrét hozzájárulásokat: $\rho _{\mathrm {contin} }$

{\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i))

ahol a kérdéses elem helyzetének sugárvektora (a határozottság kedvéért a jelölések a tömegnek felelnek meg, nem a töltésnek), egyszerűen leírható: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

Ez azt jelenti, hogy mind folytonos, mind deltaszerű, azaz geometriai pontokra koncentrálva (minden pontobjektumhoz egyet ) tartalmaz összetevőket: $\rho(\mathbf{x})$ $m_i$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Egyéb példák

A delta függvényt a matematikai fizikában olyan problémák megoldására használják, amelyek csomózott mennyiségeket tartalmaznak. A kvantummechanika szemiklasszikus határértékében ( ) a hullámfüggvények delta-szerű (vagyis delta-függvény alakúak a határértékben) burkológörbéjű hullámcsomagokba lokalizálódnak, és lokalizációjuk régiói a klasszikus trajektóriák mentén mozognak Newton-egyenletek . $\hbar\jobbra 0$
Az egység Fourier transzformációja delta függvény. Ez lehetővé teszi a Fourier-transzformációval kapcsolatos különféle problémák kényelmesebb és matematikailag szigorúbb megfogalmazását, amelyek nagyon sokak: hullámoptika, akusztika és rezgéselmélet. A kvantummechanikában a hullámfüggvények Fourier-transzformációi kiemelkedően fontos alapvető és technikai szerepet töltenek be, Dirac ezért vezette be először a delta-függvényt.
A delta függvények egy folytonos spektrummal rendelkező operátor sajátfüggvényeinek szerepét töltik be olyan ábrázolásokban, ahol ez az operátor átlós. Így az operátor átlós ábrázolásában bázis szerepét töltik be.
A delta függvények fontos alkalmazása a lineáris operátorok Green-függvényeinek apparátusában való részvételük. Egy sokaságon általánosított függvényekre ható lineáris operátor esetén a Green függvényt egy pontban forrással definiáló egyenlet alakja a következő $L$ $M$ $g$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Különösen gyakori ennek az apparátusnak az alkalmazása a Laplace-operátorra (elektrostatika, hővezető képesség, diffúzió, mechanikai rugalmasságelmélet) és a hozzá hasonló operátorokra, mint például a d'Alembert-operátorra (akusztika, elektrodinamika, kvantumtérelmélet, ahol a Green-féle függvénynek gyakran a speciális neve propagator ).

A laplacinál a zöldben a függvény a függvény , tehát $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

hol van a távolság a koordináták origójától. Ezt a tényt annak bizonyítására használják, hogy a skaláris potenciál kifejezése

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }

kielégíti a Poisson-egyenletet :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Colombeau JF Elementary Bevezetés az új általánosított függvényekbe. - Amszterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Az általánosított függvények elméletéről // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , sz. 5 (275) . - S. 3-40 .

Irodalom

Dirac P. A. M. A kvantummechanika alapjai / Per. angolról. - M. , 1932 (sok utánnyomás van).
Kudrjavcev L. D. A matematikai elemzés rövid kurzusa. - 2. kötet - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Hermander L. Lineáris differenciálegyenletek elemzése. - Hang 1.
Hermander L. Lineáris parciális differenciáloperátorok.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Általános funkciók és műveletek rajtuk.
Krasnopevtsev EA A fizika matematikai módszerei. Válogatott kérdések.