Repülőgép

A sík a geometria egyik alapfogalma . A geometria szisztematikus bemutatásánál általában a sík fogalmát veszik a kezdeti fogalmak közé, amit csak közvetve határoznak meg a geometria axiómái . A síkkal szoros kapcsolatban szokás figyelembe venni a hozzá tartozó pontokat és egyeneseket ; ezeket is rendszerint definiálatlan fogalmakként vezetik be, amelyek tulajdonságait axiomatikusan határozzuk meg [1] .

A sík néhány jellemző tulajdonsága

A sík olyan felület, amely teljesen tartalmazza a pontjait összekötő összes vonalat ;
Két sík párhuzamos vagy metszi egymást egy egyenesben.
Az egyenes vagy párhuzamos egy síkkal, vagy egy pontban metszi azt, vagy egy síkon van.
Két , ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos egymással.
Két, ugyanarra az egyenesre merőleges sík párhuzamos egymással.

Síkegyenletek

Először A. K. Clairautban ( 1731 ) találták.

A sík szakaszos egyenletével nyilván G. Lame ( 1816-1818 ) találkozott először .

A normálegyenletet L. O. Hesse ( 1861 ) vezette be.

A sík egy elsőrendű algebrai felület : egy derékszögű koordinátarendszerben egy síkot egy elsőfokú egyenlettel határozhatunk meg .

A sík általános egyenlete (teljes).

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

ahol és konstansok, ráadásul nem egyenlők nullával; vektoros formában : $ABC$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

ahol a pont sugárvektora , a vektor merőleges a síkra (normálvektor). Vektor irány koszinuszai : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Ha a síkegyenletben az egyik együttható nulla, az egyenletet hiányosnak mondjuk . Mert a sík átmegy a koordináták origóján , mert (vagy , ) a sík párhuzamos a tengellyel (illetve , vagy ). A ( , vagy ) esetén a sík párhuzamos a síkkal ( vagy ). $D=0$ $A=0$ $B=0$ $C=0$ $Ökör$ $Oy$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

A sík egyenlete szegmensekben:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

ahol , , a sík által levágott szakaszok a tengelyeken és . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

A normálvektorra merőleges ponton átmenő sík egyenlete : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

vektoros formában:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Három olyan ponton átmenő sík egyenlete , amelyek nem esnek egy egyenesen : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(vektorok vegyes szorzata), egyébként

\left|{\begin{mátrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{mátrix}}\right|=0.

Normál (normalizált) sík egyenlet

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

vektoros formában:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

ahol - egységvektor, - P. távolság az origótól. A (2) egyenletet az (1) egyenletből kaphatjuk meg, ha megszorozzuk a normalizáló tényezővel ${\mathbf {N^{0))}$ $p$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(jelek és ellentétesek). $\mu$ $D$

Definíció ponttal és normálvektorral

A háromdimenziós térben a sík meghatározásának egyik legfontosabb módja a síkon egy pont és a hozzá tartozó normálvektor megadása.

Tegyük fel, hogy a síkon definiált pont sugárvektora , és n a síkra merőleges, nullától eltérő vektor (normál). Az ötlet az, hogy egy r sugárvektorral rendelkező pont akkor és csak akkor van a síkon, ha a -tól -ig vektor merőleges n -re . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Térjünk vissza arra, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha pontszorzata nullával egyenlő. Ebből következik, hogy a szükséges síkot az összes r pont halmazaként fejezhetjük ki, így:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Itt a pont pontszorzatot jelent, nem szorzást.)

A kifejezést kibővítve a következőket kapjuk:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

amely a sík ismerős egyenlete.

Például: Adott: egy pont a síkon és egy normálvektor . $P(2,6,-3)$ $N(9;5;2)$

A sík egyenlet a következőképpen van felírva:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Távolság egy ponttól egy síkhoz

Egy pont és egy sík távolsága a legkisebb távolság az adott pont és a síkon lévő pontok között. Ismeretes, hogy egy pont és egy sík távolsága egyenlő az ebből a pontból a síkra ejtett merőleges hosszával.

Egy pont eltérése a normalizált egyenlet által megadott síktól $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, ha és az origó a sík ellentétes oldalán található, egyébként . Egy pont és egy sík távolsága a

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

A pont és az egyenlet által megadott sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $ax+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Párhuzamos síkok közötti távolság

Az és az egyenletek által megadott síkok közötti távolság : $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Az és az egyenletek által megadott síkok közötti távolság : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Kapcsolódó fogalmak

Szög két sík között. Ha a P. egyenletek (1) formában vannak megadva, akkor

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Ha vektor formában, akkor

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

A síkok párhuzamosak , ha

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

vagy (kereszttermék)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

A síkok merőlegesek , ha

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

vagy . (Skalár szorzat)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Síkköteg - minden sík, amely két sík metszésvonalán halad át. A síkköteg egyenlete, azaz bármely sík, amely átmegy két sík metszésvonalán, a következő alakú : [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

ahol és bármely szám nem egyenlő egyidejűleg nullával. Magának ennek az egyenesnek az egyenlete a nyalábegyenletből α=1, β=0 és α=0, β=1 behelyettesítésével kereshető meg.

\alpha

\beta

Egy csomó sík - minden sík, amely három sík metszéspontján halad át [2] :224 . Egy csomó sík egyenlete, azaz bármely sík, amely átmegy három sík metszéspontján, a következő alakú:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

ahol , és bármely olyan szám, amely nem egyenlő nullával egyszerre. Ez a pont maga a kötegegyenletből α=1, β=0, γ=0 behelyettesítésével kereshető meg; α=0, β=1, γ=0 és α=0, β=0, γ=1 és a kapott egyenletrendszer megoldása.

\alpha

\beta

\gamma

Változatok és általánosítások

Síkok a nem euklideszi térben

A sík metrikának nem kell euklideszinek lennie . A pontok és egyenesek bevezetett beesési viszonyaitól függően projektív , affin , hiperbolikus és elliptikus síkot különböztetünk meg [1] .

Többdimenziós síkok

Legyen adott egy n-dimenziós affin-véges dimenziós tér , a valós számok mezeje felett. Téglalap alakú koordinátarendszere van . Az m-sík olyan pontok halmaza, amelyek sugárvektorai kielégítik a következő összefüggést : - mátrix, amelynek oszlopai a sík irányító alterét alkotják, - változók vektora, - a sík egyik pontjának sugárvektora. A megadott arány mátrix-vektor formából vektorossá fordítható: - az m-sík vektoregyenlete. A vektorok irányító alteret alkotnak. Két m-síkot párhuzamosnak nevezünk, ha a vezetőtereik azonosak és . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alpha$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \in V$
${\vec {a_{i))}$ $\alpha ,\beta$ $\exists x\in \alpha :x\notin \beta$

Az n-dimenziós térben lévő (n-1) síkot hipersíknak vagy egyszerűen síknak nevezzük . Hipersíkra vonatkozóan létezik egy általános egyenlet a síkra. Legyen a sík normálvektora, legyen a változók vektora, legyen a síkhoz tartozó pont sugárvektora, akkor: legyen a sík általános egyenlete. Az irányvektorokból álló mátrix birtokában az egyenlet a következőképpen írható fel: , vagy: . A síkok közötti szög a normálvektoraik közötti legkisebb szög. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Példa egy 1-síkra háromdimenziós térben (n=3) egy egyenes . Vektoregyenlete a következő: . n = 2 esetben az egyenes hipersík. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

A háromdimenziós térben lévő hipersík megfelel a sík szokásos fogalmának.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Matematikai enciklopédia, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.

Irodalom

Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikus geometria. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 p.
Plane // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Linkek

A Wikimedia Commons rendelkezik a Plane - hez kapcsolódó médiával

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz Asztali