Egyenes

Az egyenes az euklideszi geometria egyik alapfogalma . A geometria szisztematikus bemutatásánál az egyeneseket általában az eredeti ( meghatározhatatlan ) fogalmak egyikének tekintik [1] , tulajdonságaikat és kapcsolatukat más fogalmakkal (például pontokkal és síkokkal ) a geometria axiómái határozzák meg [2] .

Az egyenes a körrel együtt az egyik legrégebbi geometriai alakzat. Az ókori geométerek ezt a két görbét "tökéletesnek" tartották, ezért csak az iránytűvel és egyenes éllel rendelkező konstrukciókat ismerték fel . Eukleidész úgy írt le egy vonalat, mint "hosszúság szélesség nélkül", amely "minden pontján egyformán fekszik" [3] .

A vonalak analógjai bizonyos típusú nemeuklideszi terekben is meghatározhatók. Ha a geometria megalkotásának alapja a tér két pontja közötti távolság fogalma, akkor egy egyenes szakasz definiálható az ezeket a pontokat összekötő legrövidebb görbeként. Például a Riemann-féle geometriában az egyenesek szerepét a geodetikusok játsszák , amelyek a legrövidebb vonalak; a gömbön a nagykörök ívei a legrövidebb ívek [4] .

Egy egyenes tulajdonságai az euklideszi geometriában

Az egyenes két pontjával határolt szakaszait szakaszoknak nevezzük .

Bármely ponton keresztül végtelenül sok vonal húzható .
Bármely két nem egybeeső ponton keresztül csak egy egyenes van.
A síkban két nem egybeeső egyenes vagy egyetlen pontban metszi egymást [5] , vagy párhuzamos (az előzőből következik).
A háromdimenziós térben három lehetőség van két nem egybeeső vonal egymáshoz viszonyított helyzetére:
- a vonalak metszik egymást;
- az egyenesek párhuzamosak ;
- egyenesek metszik egymást .
Az egyenes egy elsőrendű algebrai görbe : egy derékszögű koordinátarendszerben egy egyenest egy síkon egy elsőfokú egyenlet határoz meg ( lineáris egyenlet ).

Egy síkban lévő egyenes egyenletei

Egy egyenes általános egyenlete

Egy síkban lévő egyenes általános egyenlete derékszögű koordinátákkal :

Ax+By+C=0,

ahol és tetszőleges állandók, és a és állandók nem egyenlők nullával egyszerre. $A,B$ $C$ $A$ $B$

A pontban az egyenes párhuzamos a tengellyel , a pontban pedig párhuzamos a tengellyel . $A=0$ $Ökör$ $B=0$ $Oy$

A koordinátákkal rendelkező vektort normálvektornak nevezzük, merőleges az egyenesre. $(A, B)$

A pontban az egyenes áthalad a koordináták origóján . $C=0$

Az egyenlet átírható így is

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Meredekségű egyenes egyenlete

Egy egyenes egyenlete, amely egy pontban metszi a tengelyt és szöget zár be a tengely pozitív irányával : $Oy$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Ökör$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi .

Az együtthatót az egyenes meredekségének nevezzük . $k$

Ebben a formában lehetetlen a tengellyel párhuzamos egyenest ábrázolni (Néha ilyenkor hivatalosan azt mondják, hogy a lejtő "a végtelenbe megy".) $Ó.$

Egyenes egyenlete szakaszokban

Egy pontban egy tengelyt és egy pontban egy tengelyt metsző egyenes egyenlete : $Ökör$ $(a,\;0)$ $Oy$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

Ebben a formában lehetetlen az origón áthaladó egyenest ábrázolni.

Egy egyenes normálegyenlete

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

ahol az origóból az egyenesre ejtett merőleges hossza, és a tengely pozitív iránya és e merőleges iránya közötti szög (pozitív irányban mérve) . Ha , akkor az egyenes átmegy az origón, a szög pedig az egyenes hajlásszögét adja meg. $p$ $\theta$ $Ökör$ $p=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Egy egyenes normálegyenletének levezetése

Legyen akkor adott egy egyenes, és tekintsük ennek a merőlegesnek az ortját Tegyük fel, hogy a és a tengely közötti szög Azóta felírhatjuk: Tekintsünk egy tetszőleges pontot. Rajzoljuk meg a sugárvektort Most keressük meg a vetületet a vektorra Ezért, Ez az egyenes normálegyenlete. ■ $L.$ $OP\perp L$ $|\overrightarrow {OP}|=p.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\overrightarrow {e_{p}}|$ $Ökör$ $\theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ $M(x,y).$ $\overrightarrow {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\overrightarrow {e_{p}},\overrightarrow {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Ha az egyenest az általános egyenlet adja meg, akkor a szakaszok és az általa levágott szakaszok a tengelyeken, a szögegyüttható az egyenes távolsága a koordináták origójától, és együtthatókkal fejezzük ki , és alábbiak szerint: $Ax+By+C=0,$ $a$ $b,$ $k,$ $p,$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $A$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

A bizonytalanság elkerülése érdekében a gyök előtti előjelet úgy választjuk meg, hogy teljesüljön a feltétel , ebben az esetben pedig az egyenes pozitív normálisának iránykoszinuszai - az origóból az egyenesbe ejtett merőleges. Ha ekkor az egyenes átmegy az origón és a pozitív irány megválasztása tetszőleges. $p>0.$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Két adott nem egybeeső ponton áthaladó egyenes egyenlete

Ha két nem egybeeső és koordinátájú pont adott , akkor a rajtuk áthaladó egyenest az egyenlet adja meg $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0

vagy

{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

vagy általában

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\jobbra)=0.

Egy egyenes vektor parametrikus egyenlete

Egy egyenes vektorparametrikus egyenletét egy olyan vektor, amelynek vége az egyenesen van, és az egyenes irányítóvektora adjuk meg.A paraméter minden valós értéken átfut. ${\vec {r}}_{0},$ ${\vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Egy egyenes paraméteres egyenletei

Az egyenesek paraméteres egyenletei a következőképpen írhatók fel:

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases))

ahol tetszőleges paraméter, az egyenes koordinátái és irányítóvektora. Ahol $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $x$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

A paraméter jelentése hasonló a vektor-paraméteres egyenletben szereplő paraméterhez. $t$

Egy egyenes kanonikus egyenlete

A kanonikus egyenletet paraméteres egyenletekből kapjuk úgy, hogy az egyik egyenletet elosztjuk a másikkal:

Következtetés

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases))

{\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

ahol mind az egyenes irányvektorának, mind az egyeneshez tartozó pont koordinátái vannak. $a_{x},a_{y}$ $x$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Egy egyenes egyenlete polárkoordinátában

Egy egyenes egyenlete polárkoordinátákkal és : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

vagy

\rho \cos(\varphi -\theta )=p.

Egy egyenes tangenciális egyenlete

Egy síkon lévő egyenes tangenciális egyenlete :

\xi x+\eta y=1.

A és számokat érintőleges , lineáris vagy Plücker - koordinátáinak nevezzük . $\xi$ $\eta$

Egyenes egyenletei a térben

Egy térbeli egyenes vektorparametrikus egyenlete :

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),

ahol az egyenesen fekvő fix pont sugárvektora , egy nullától eltérő vektor ezzel az egyenessel kollineárisan (ezt irányvektorának nevezzük), az egyenes tetszőleges pontjának sugárvektora . ${\vec {r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec a$ ${\vec {r))$

Egyenes térbeli paraméteres egyenletei:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

hol vannak az egyenesen elhelyezkedő fix pont koordinátái ; a vektor koordinátái kollineárisak ehhez az egyeneshez. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Egy térbeli egyenes kanonikus egyenlete :

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

hol vannak az egyenesen elhelyezkedő fix pont koordinátái ; a vektor koordinátái kollineárisak ehhez az egyeneshez. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Egy egyenes általános vektoregyenlete[ pontosítás ] térben:

Mivel az egyenes két különböző sík metszéspontja, amelyeket az általános egyenletek adnak meg :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

és

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

akkor az egyenes egyenlete a következő egyenletrendszerrel adható meg:

{\begin{cases}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_ {2})+D_{2}=0.\end{cases}}

Egyenes térbeli vektoregyenlete [6] :196-199 :

A térbeli egyenes egyenlete felírható ezen egyenes tetszőleges pontjának sugara-vektorának és az egyenes rögzített irányvektorának vektorszorzataként :

{\vec {r))

\vec a

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

ahol a vektorra merőleges rögzített vektort úgy találhatjuk meg, hogy az egyenes bármely ismert pontjának sugárvektorát behelyettesítjük ebbe az egyenletbe. $\vec M$ $\vec a$

Pontok és egyenesek kölcsönös elrendezése a síkon

Három pont , és akkor és csak akkor feküdjön ugyanazon a vonalon, ha a feltétel $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

Egy pontnak az egyenestől való eltérését a képlet határozza meg $(x_1,\;y_1)$ $Ax+By+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

ahol a gyök előtti előjel ellentétes az előjellel, a modulo eltérés egyenlő a pont és az egyenes távolságával ; pozitív, ha a pont és az origó az egyenes ellentétes oldalán található, és negatív, ha ugyanazon az oldalon. $C.$

Térben egy pont és egy egyenes távolsága, amelyet egy paraméteres egyenlet ad meg $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{cases}}

Megtalálható egy adott pont és egy egyenes tetszőleges pontja közötti minimális távolságként. Ennek a pontnak az együtthatója a képlettel kereshető meg $t$

t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Több egyenes kölcsönös elrendezése egy síkon

Két egyenletek által adott egyenes

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

vagy

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

pontban metszik egymást

x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

A metsző egyenesek közötti szöget a $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma _{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

Ebben az esetben a kifejezés azt a szöget jelenti, amellyel az első egyenest (amelyet a , , , és paraméterek határoznak meg ) az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni a metszéspont körül, amíg először egybe nem esik a második egyenessel. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Ezek az egyenesek párhuzamosak , ha vagy , és merőlegesek , ha vagy . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2))}$

Az egyenlettel párhuzamos bármely egyenes kifejezhető az egyenlettel. Ebben az esetben az egyenesek közötti távolság egyenlő lesz $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Ha egy egyenes egyenlete , és az egyenes egyenlete párhuzamos vele , akkor a távolság kiszámítható $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Ha a gyök előtti előjel ellentétes, akkor pozitív lesz, ha a második sor és az origó az első sor ellentétes oldalán található. $C_{1},$ $\delta$

Hogy három egyenes legyen

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

egy pontban metszik egymást, vagy párhuzamosak egymással, szükséges és elégséges, hogy a feltétel

{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmátrix }}=0.

Ha és , akkor a és vonalak merőlegesek -ra . $A_{2}=-B_{1}$ $B_{2}=A_{1}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Néhány speciális vonaltípus

Jegyzetek

↑ Coxeter, 1969 , p. négy
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 721-722.
↑ Proclus Diadochus. Kommentár Euklidész „Kezdetek” című könyvének első könyvéhez / Dmitrij Pozharszkij Egyetem. - M. , 2013. - S. 116. - 368 p.
↑ Norden A.P. A differenciálgeometria rövid kurzusa. - M. : Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 p.
↑ Faber, B. függelék, p. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.

Irodalom

Markushevich AI Figyelemre méltó görbék , Népszerű előadások a matematikáról . - 4. szám - Gostekhizdat , 1952 - 32 oldal.
Közvetlen // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2. kiadás), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Az euklideszi és nem euklideszi geometria alapjai , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4156780-8

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg

Kúpos szakaszok
Főbb típusok	Ellipszis Hiperbola Parabola
Elfajzott	Pont Egyenes Egyenes vonalpár
Az ellipszis speciális esete	Kör
Geometriai konstrukció	kúpos szakasz Dandelin golyók Steiner tervezése
Lásd még	Kúpos állandó
Matematika • Geometria