Végtelen készlet

A végtelen halmaz olyan halmaz , amely nem véges . Több ekvivalens definíciót is adhatunk egy végtelen halmazra:

Olyan halmaz, amelyben bármely természetes számhoz létezik az elemek véges részhalmaza . $n$ $n$
Megszámlálható részhalmazt tartalmazó halmaz.
Olyan halmaz, amelyben van egy részhalmaz, amely ekvivalens egy (nem nulla) határérték sorszámmal .
Egy halmaz, amelyhez van bijekció annak megfelelő részhalmazával .

Bármely végtelen halmazhoz létezik még nagyobb számosságú halmaz – így nincs nagyobb számosságú végtelen halmaz. A végtelen halmazok kardinalitásait alefeknek nevezzük („ alef ”, א a héber ábécé első betűje ), és ott jelöljük, ahol az index végigfut az összes sorszámon . A végtelen halmazok számossága egy jól rendezett osztályt alkot – a végtelen halmaz legkisebb számossága (aleph-0, a természetes számok halmazának számossága), ezt követi $\aleph _{\alpha },$ $\alpha$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1)) ,\dots \aleph _{\omega _{\omega _{1))},\dots$

Példák

A természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok és komplex számok halmazai végtelen halmazok. $\N$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C}$
A funkciók készlete végtelen. $\N \ to \N$
Egy rendezett végtelen halmaznak lehetnek "végei" (minimális és maximális elemei) - például a racionális számok halmaza egy szakaszon $[0,1].$
Egy megszámlálható halmaz összes végtelen részhalmazának halmaza egy megszámlálhatatlan végtelen halmaz.

Végtelen készlet

Példák

Lásd még