Steiner tervezése

A Steiner -konstrukció egy nem degenerált kúpszelvény meghatározásának módja a vetületi síkban egy mező felett . Jacob Steiner svájci matematikus javasolta .

Építkezés

Legyen megadva két ceruza vonal a pontokban (minden olyan egyenes, amely és -t tartalmaz ), és egy projektív, de nem perspektivikus leképezést -tól -ig . Ekkor a megfelelő egyenesek metszéspontjai egy nem degenerált projektív kúpszeletet alkotnak [1] [2] [3] [4] (1. kép) $B(U),B(V)$ $U,V$ $U$ $V$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

A ceruza -köteg perspektivikus leképezés egy olyan bijekció , amelyben a megfelelő vonalak egy rögzített vonalon metszik egymást, amelyet perspektivikus leképezési tengelynek neveznek (2. kép). $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $a$ $\pi$

A projektív leképezés véges számú perspektivikus leképezés összetétele.

Az általánosan használt mezőkre példák a valós számok , a racionális számok és a komplex számok . A konstrukció véges mezőkön is működik , példákat adva véges projektív síkokra. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Megjegyzés: A projektív síkok főtétele kimondja, hogy a projektív leképezést egy mező feletti projektív síkban három egyenes képe határozza meg. [5] Ez azt jelenti, hogy a Steiner-konstrukcióhoz két ponton kívül csak három vonal képét kell megadni. Mivel egy egyenes képét egyértelműen a kép metszéspontja határozza meg, ebből következik, hogy a kúpot öt, rajta fekvő pont határozza meg egyértelműen. $U,V$

Példa

A következő példában három vonal képe ismert (lásd a 3. képet): . A projektív leképezés perspektivikus leképezések összetétele : 1) egy ceruza perspektivikus leképezése egy pontban egy ceruzára egy pontban , amelynek tengelye . 2) egy pontban lévő nyaláb perspektivikus leképezése egy olyan pontra , amelynek tengelye . Ellenőriznünk kell, hogy rendelkezik-e a következő tulajdonságokkal: . Így egy tetszőleges vonalhoz a képe megszerkeszthető . A vonalak és csak a kúp és a pontokat tartalmazzák . Ezért, és érintik a megépített kúp. $a,u,w$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $\pi$ $\pi _{b},\pi _{a}$ ${\displaystyle \pi _{b))$ $U$ $O$ $b$ $\pi _{a}$ $O$ $V$ $a$ ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b))$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $g$ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ $u$ $v$ $U$ $V$ $u$ $v$

Annak bizonyítása, hogy ez a módszer lehetővé teszi a kúp felépítését, egy affin diagramra való átlépéssel történik, amelyben az egyenes a végtelenben lévő egyenes, a pont az origó, és a pontok a végtelenben lévő pontok, amelyek megfelelnek az x és y tengelyeknek . illetőleg. és pont . A megszerkesztett kúp affin része hiperbolának bizonyul . [3] $w$ $O$ $U,V$ $E=(1,1)$ $y=1/x$

Steiner konstrukciója a kettős kúpról

Definíciók

A kettős projektív síkra való átlépéskor a "pont" és a "vonal" szavak, valamint a keresztező vonalak és az összekötő pontok műveletei felcserélődnek. A kettős projektív sík egyben projektív sík is, amelyre homogén koordinátákat lehet bevezetni. A kettős projektív síkban egy nem degenerált kúpmetszetet is egy másodfokú alak határoz meg.

A kettős kúp kettős Steiner módszerrel készíthető:

Legyenek adott vonalak és projektív, de ne perspektivikus leképezés től -ig . Ekkor a megfelelő pontokat összekötő egyenesek kettős, nem degenerált projektív kúpszeletet alkotnak. $u,v$ $\pi$ $u$ $v$

Egy egyenes ponthalmazának perspektivikus leképezése egy egyenes ponthalmazára olyan bijekció, amelyben a megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy fix pontban metszik egymást , amelyet perspektivikus középpontnak nevezünk (lásd a képet). $\pi$ $u$ $v$ $Z$ $\pi$

A projektív leképezés véges számú perspektivikus leképezés összetétele.

Abban az esetben, ha a főmező karakterisztikája 2, az összes érintőkúp a kúp csomópontjának (vagy kernelének ) nevezett pontban metszi egymást . Ezért a kúpos duális egy nem degenerált kúposhoz a duális egyenes részhalmaza, és nem egy ovális görbe (a duális síkban). Tehát a kettős kúp csak akkor nem degenerált, ha a talajmező karakterisztikája nem egyenlő 2-vel.

Példa

A következő példában három pont képe ismert : . A projektív leképezés ábrázolható perspektivikus leképezések összetételeként : $A,U,W$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $\pi$ $\pi _{B},\pi _{A}$

1) egy vonal ponthalmazának perspektivikus leképezése egy olyan egyenes ponthalmazára, amelynek középpontja .

\pi _{B}

u

o

B

2) egy egyenes ponthalmazának perspektivikus leképezése egy olyan egyenes ponthalmazára, amelynek középpontja .

\pi _{A}

o

v

A

Könnyen ellenőrizhető, hogy a leképezés megfelel -e . Így egy tetszőleges pont képe megszerkeszthető , és az egyenes a kettős kúp eleme. $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $G$ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ ${\overline {G\pi (G)))$

Jegyzetek

↑ Coxeter, 1993 , p. 80.
↑ Merserve, 1983 , p. 65.
↑ 12 Hartmann , p. 38.
↑ Jacob Steiner Vorlesungen über synthetische Geometrie , BG Teubner, Lipcse 1867 II . rész , p. 96
↑ Hartmann, , p. 19

Irodalom

Coxeter, HSM The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Planar Circle Geometries, Bevezetés a Moebius-, Laguerre- és Minkowski-síkokba
Merserve, Bruce E. Fundamental Concepty of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9