Cél mező

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A véges mező , vagy az általános algebrában a Galois-mező olyan mező , amely véges számú elemből áll ; ezt a számot a mező sorrendjének nevezzük .

A végső mezőt általában vagy jelölik (az angol Galois field rövidítése), és Galois- mezőnek nevezik , ahol a mezőelemek száma [1] . Az izomorfizmusig egy véges mezőt teljesen meghatároz a sorrendje, amely mindig valamilyen prímszám hatványa , azaz ahol egy prímszám és bármely természetes szám . Ebben az esetben ennek a mezőnek a jellemzője lesz [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $p$ $n$ $p$

A véges mező fogalmát a számelmélet [3] , a csoportelmélet [3] , az algebrai geometria [3] , a kriptográfia [4] használják .

Definíció és tulajdonságok

A véges mező egy véges halmaz , amelyen tetszőleges műveletek vannak meghatározva, amelyeket összeadásnak , szorzásnak , kivonásnak és osztásnak neveznek (kivéve a 0-val való osztást) a mező axiómáinak megfelelően [5] .

Egy véges mező multiplikatív csoportja ciklikus . Vagyis a mező minden nullától eltérő eleme egy csoportot alkot a szorzás művelete szempontjából (ezt a csoportot a mező szorzócsoportjának nevezzük, és -vel jelöljük ). Ez a csoport ciklikus , azaz van egy generáló eleme , és az összes többi elemet úgy kapjuk meg, hogy a generátort [5] teljesítményre emeljük . Vagyis létezik olyan generáló elem, amelyre bármely , a következőt írhatjuk: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $g$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

A generáló elemet a mező primitív elemének is nevezik , a mező primitív elemeket tartalmaz , ahol az Euler-függvény . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

A mezőnek számos egyéb tulajdonsága is van:

Fermat kis tétele szerint a mező minden eleme kielégíti a [2] egyenlőséget . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Egy mező akkor és csak akkor tartalmaz almezőt , ha osztó [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Ha egy irreducibilis fokszámú polinom , akkor a mező bármely gyökét tartalmazza , és az összes gyökének halmazának alakja van . Így van-e egy polinom kiterjesztési tere a mező felett [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alpha$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $f$ $\mathbb {F} _{q}$
Minden véges mezőre és természetes számra az összes olyan polinomra normalizált irreducibilis szorzata, amelynek fokosztója : Konkrétan az ilyen polinomok fokszámainak összege [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Azon n fokú normalizált polinomok számát , amelyek irreducibilisek egy mezőn , a képlet határozza meg , ahol a Möbius-függvény . Ez az állítás a Möbius inverziós formula [9] alkalmazása utáni képletből következik . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\összeg _{d|n}dN(q,d)$

Egy mező prímszámú elemmel

Bármilyen prímrendű mezőt reprezentálhatunk maradékgyűrűvel (azaz bármely elemmező izomorf egy maradékgyűrűvel ). A véges mező legismertebb példája a maradék osztályok mezője modulo a prímszám , jelölése [10] . Ez a mező a következőképpen ábrázolható. Prímszám esetén a mezőelemek számok lesznek . Az összeadás és szorzás a számok összeadása és szorzása az eredmény modulo redukálásával [11] . Az alábbiakban példákat mutatunk be két és három elemű mezőkre . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\mathbb {Z} /(p)$ $p$ $\{0,1,...,p-1\}$ $p$

A maradék gyűrűkkel való kapcsolat

A véges mezőket és a maradékgyűrűket nem szabad összetéveszteni . Csak ha a kitevő prímszám , akkor a maradékgyűrű mező. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

n > 1 esetén a maradékgyűrű nem mező. Példa. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

A mezőben bármely elemre igaz .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

A gyűrűben számolva csak két esetben kapunk 0-t, amikor . Ennek a gyűrűnek nulla osztója van : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Véges mezők jellemzése

Minden véges mező jellemzője egy prímszám. Legyen véges mező. Ekkor elemekből áll, ahol a mező karakterisztikája , a természetes szám pedig a mező fokszáma az egyszerű részmezőhöz képest [2] . $F$ $p^{n}$ $p$ $F$ $n$ $F$

A véges mezők létezéséről és egyediségéről szóló tétel szerint minden prímszámhoz és természetes számhoz létezik véges elemmező , és bármely véges elemmeze izomorf egy polinom mező feletti felbontási mezőjével . Ez a tétel lehetővé teszi, hogy egy adott rendű, jól definiált mezőről (vagyis az elemek Galois mezőjéről ) beszéljünk [13] . $p$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Épület

Az n > 1 mezõ megszerkeszthetõ hányadosgyûrûként , ahol egy n fokú irreducibilis polinom a mezõ felett . Így ahhoz, hogy egy mezőt elemekből hozzunk létre, elegendő egy olyan fokszámú polinomot találni, amely a mező felett irreducibilis (ilyen polinom mindig létezik). A mező elemei a kisebb fokú polinomok maradékosztályai a polinom által generált főideál modulo együtthatóival . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Egy elem egy polinom gyöke , és a mezőt ez az elem generálja a mező felett , ezért a mezőről a mezőre való átmenetet egy irreducibilis polinom gyökének a mezővel való összekapcsolásának nevezzük . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Példák

Két elemből álló mező

A mező két elemből áll, de az elemek megválasztásától és a rajtuk végzett összeadási és szorzási műveletek meghatározásától függően különböző módon adható meg: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Két „0” és „1” szám halmazaként, amelyeken az összeadás és szorzás műveletei a számok összeadása és szorzásaként vannak definiálva, modulo 2 ( ) eredménnyel: ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\))$

+	0	egy
0	0	egy
egy	egy	0

×	0	egy
0	0	0
egy	0	egy

Közönséges aritmetikával Ez a logika alapozza meg a számítógépek bináris rendszerét, (mező ) (számítógépek).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Jobb nyíl

Két logikai objektum „HAMIS” (F) és „TRUE” (T) halmazaként, amelyeken az összeadás és szorzás műveletei „kizárólagos vagy” és „és” logikai műveletként vannak definiálva:

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Ezek a mezők izomorfok egymással, vagyis valójában két különböző módja ugyanazon mező megadásának.

Három elemből álló mező

Mező . Az összeadás és szorzás a számok összeadása és szorzása modulo 3. A műveleti táblázatok a következők: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	egy	2
0	0	egy	2
egy	egy	2	0
2	2	0	egy

×	egy	2
0	0	0
egy	egy	2
2	2	egy

A 3-mal való osztás maradékai három elemből keletkeznek (ahol azért , mert a 3-mal való osztás maradékai ). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

A 4 mezővel való osztás maradéka nem jön létre, mert a 2. elemnek nincs inverze.

Négy elemből álló mező

A mező ábrázolható halmazként (ahol a polinom gyöke a mező felett , azaz ). A műveleti táblázatok így néznek ki: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alpha$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	egy	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	egy	$\alpha$	$\alpha +1$
egy	egy	0	$\alpha +1$	$\alpha$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	0	egy
$\alpha +1$	$\alpha +1$	$\alpha$	egy	0

×	egy	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	0	0
egy	egy	$\alpha$	$\alpha +1$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	egy
$\alpha +1$	$\alpha +1$	egy	$\alpha$

Kilenc elemből álló mező

A mező felépítéséhez elegendő egy 2-es fokú normalizált polinomot találni , amely irreducibilis a felett . Ezek a polinomok a következők: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

Mert , van egy kívánt mező (ha helyette másik polinomot veszünk, akkor egy új mezőt kapunk, amely izomorf a régivel). Az alábbi táblázatokban a szimbólum egy polinom ekvivalenciaosztályát jelöli a faktorgyűrűben , amely kielégíti az egyenletet . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $én$ $x$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Az összeadási táblázatot a következő arány alapján határozzuk meg : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	egy	2	$én$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	egy	2	$én$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
egy	egy	2	0	$i+1$	$i+2$	$én$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	egy	$i+2$	$én$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$én$	$én$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	egy	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$én$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	egy	2	0
$i+2$	$i+2$	$én$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	egy
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	egy	2	$én$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	egy	2	0	$i+1$	$i+2$	$én$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	egy	$i+2$	$én$	$i+1$

A szorzótáblát a következő arányból határozzuk meg : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	egy	2	$én$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
egy	egy	2	$én$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	egy	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$én$	$i+2$	$i+1$
$én$	$én$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	egy	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	egy	$2i+1$	2	$én$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	egy	$én$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$én$	egy	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$én$	egy
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$én$	2	$i+2$	egy	$2i$

Az elem 8-as rendű és primitív. Az elem nem primitív, mert (más szóval a polinom nem primitív ) [17] . $i+1$ $én$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]$

16 elemből álló multiplikatív mezőcsoport

Ha egy mezőt egy irreducibilis polinom segítségével szerkesztünk meg , a bővítési elemeket a polinom együtthatóinak halmazai adják meg, amely a maradékot eredményezi, ha elosztjuk -val, és a hatványok növekvő sorrendjében írjuk le. A multiplikatív csoportot az elem generálja , amelyet (0, 1, 0, 0) [18] -ként írunk fel . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alpha=x$

Polinom	Fokozat $\alpha$	$1,x,x^{2},x^{3}$
egy	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alpha$	$\alpha$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alpha$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Tanulmánytörténet

A véges mezők elméletének kezdetei a 17. és 18. századra nyúlnak vissza . A témán olyan tudósok dolgoztak , mint Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange és Adrien Marie Legendre , akik a véges főrendű mezők elméletének megalapozóinak tekinthetők. Nagyobb érdeklődésre tart számot azonban a véges mezők általános elmélete, amely Gauss és Galois munkáiból származik [19] . Egy ideig ezt az elméletet csak az algebra és a számelmélet használták, de később új érintkezési pontokat találtak az algebrai geometriával , a kombinatorikával és a kódoláselmélettel [3] .

Galois közreműködése

1830-ban a tizennyolc éves Evariste Galois publikált egy tanulmányt [20] , amely megalapozta a véges mezők általános elméletét. Ebben a cikkben Galois (a permutációs csoportok és algebrai egyenletek elméletével kapcsolatos kutatásaival kapcsolatban [21] ) bevezet egy képzeletbeli összehasonlító gyöket , ahol egy tetszőleges fokú irreducibilis modulo p polinom . Ezt követően az általános kifejezést tekintjük , ahol néhány modulo p egész szám van . Ha minden lehetséges értéket hozzárendel ezekhez a számokhoz, a kifejezés értékeket vesz fel . Továbbá Galois megmutatja, hogy ezek az értékek egy mezőt alkotnak, és ennek a mezőnek a multiplikatív csoportja ciklikus. Így ez a munka az első kő a véges mezők általános elméletének megalapozásában. Elődeivel ellentétben, akik csak a mezőket vették figyelembe, Galois már a mezőket tekinti , amelyeket az ő tiszteletére Galois-mezőknek kezdtek el nevezni [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $p^{\nu }$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Az első ilyen irányú munkát Gauss írta 1797 körül, de életében ez a tanulmány soha nem jelent meg. Valószínűleg ezt a tanulmányt figyelmen kívül hagyta írásainak szerkesztője, így ez a mű csak posztumusz kiadásban, 1863-ban jelent meg [23] .

Továbbfejlesztés

1893- ban Eliakim Moore matematikus bebizonyított egy tételt a véges mezők osztályozásáról, kijelentve, hogy bármely véges mező Galois-mező , azaz bármely elemmező izomorf a modulo együtthatójú polinomok maradékosztályainak mezőjével, egy irreducibilis polinom . végzettségű [24] . Az első kísérlet a véges terek elméletének axiomatikus megközelítésére ugyanebbe az évbe nyúlik vissza, amelyet Heinrich Weber végzett el , aki a matematika különböző ágaiban felmerült fogalmakat, köztük a véges mező fogalmát igyekezett munkájában egyesíteni. [25] . Továbbá 1905 -ben Joseph Wedderburn bebizonyítja Wedderburn kis tételét , miszerint bármely véges test kommutatív, azaz mező. A mező modern axiomatikus definíciója (speciális esetként véges mezőkkel) Ernst Steinitznek köszönhető, és 1910-ben megjelent cikkében [26] ismerteti . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Alkalmazások

Diofantin egyenletek

A diofantin egyenlet egy egész együtthatós egyenlet, amelyben a változók is egész számokat vesznek fel. Az ilyen egyenletek vitájának nagy hullámát Fermat váltotta ki , aki megfogalmazta tételeit. Fermat kis tétele kimondja, hogy ha egy prímszám, amely nem osztója egy másik számnak , akkor . A véges mezők elméletében ez a tétel a Lagrange-tétel következménye , amelyet az elem által generált multiplikatív részcsoportra alkalmazunk , mivel a teljes multiplikatív mezőcsoport elemekből áll [5] . $p$ $a$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat észreveszi, hogy csak azok a prímszámok bonthatók két négyzet összegére, amelyek 4-gyel osztva 1 maradékot adnak.

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

1640. december 25-én Marin Mersenne - nek írt levelében Fermat a [27] egyenlet megoldását javasolja . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind ezt az egyenletet egy véges mezőben tanulmányozta , ahol felveszi a formáját . Ha , akkor a megoldás triviális. Ellenkező esetben mindkét részt eloszthatja a következővel, és egy csere bevezetésével megkaphatja a forma egyenletét . -val szorozva egyenletet kapunk . Feltételezve , hogy a generátor egy 4-es rendű multiplikatív részcsoport, akkor p -n megkaphatjuk a szükséges és elégséges feltételeket, amelyek mellett az egyenletnek megoldása van. A Fermat-Euler-tétel további bizonyítása , amelyet Dedekind végzett, nem használja a véges mező fogalmát, és megtalálható a megfelelő cikkben [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $x$

A korrekciós kódok elmélete

A korrekciós kódok elméletének megalkotásának évének 1948 - at tekintik , amelyben Claude Shannon cikke jelent meg, amelyben bemutatja, hogy az információ bármilyen csatornán történő továbbításában a hibák megléte többek között attól függ, az átviteli sebesség és a csatornakapacitás aránya. Az átviteli sebességnek nagyobbnak kell lennie, mint a sávszélesség. Shannon bizonyítékokat szolgáltatott, de azokat érvénytelennek nyilvánították [29] .

Konstruktív megközelítést javasolt Richard Hamming , ezzel megadva a vektort a témával foglalkozó sok későbbi cikk fejlődéséhez. Munkájában Hamming egy egyszerű kódot épített fel , amely bizonyos módon kijavítja a hibákat. Hamming csak a [30] mező felett vette figyelembe a korrekciós kódokat . Golay 1949-ben hamarosan hasonló kódokat szerkesztett tetszőleges véges mezőkre [31] . A legnagyobb hozzájárulás azonban ehhez az elmélethez Hammingé [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Kriptográfia

A kriptográfiában a véges mezőket alkalmazták a legszélesebb körben. Diffie és Helman publikus kulcsú kriptográfiáról szóló cikke, amely kulcscsere protokollt javasolt [4] , alapműnek számít . Ebben a munkában egy bizonyos típusú véges mezőket használtam. Később a véges mezők használatán alapuló kriptográfiai protokollok és kriptorendszerek széles választéka jelent meg. Ezek közé tartozik az ElGamal séma , az Advanced Encryption Standard [32] , a Schnorr séma , a Chaum algoritmus (vak aláírás) , az XTR kriptorendszerés sokan mások. Az elliptikus görbe algoritmusok , amelyek a modern kriptográfia egyik kulcsfontosságú vizsgálati tárgyát képezik, szintén véges mezőket használnak [33] .

Ezenkívül a titkosítás minősége gyakran attól függ, hogy képesek-e gyorsan előállítani nagy prímszámokat. Ennek megfelelően a feladat egy szám prímtényezőkre bontására szolgáló algoritmus felépítése (egy adott szám egyszerűségének meghatározása). Michael Rabin publikált egy tanulmányt, amelyben a multiplikatív mezőcsoport tulajdonságain alapuló primalitástesztet javasol [34] .

Vegyes

1960-ban R. K. Bowes és D. K. Roy-Chowdhury publikált egy tanulmányt, amelyben véges mezőkön vizsgálták a polinomok családjait. A. Hockwingham általánosította elméletüket, ami a BCH kód megalkotásához vezetett , melynek speciális esete a jól ismert Reed-Solomon kód , amelynek igen széles körű alkalmazása van. RAM -vezérlőkben való íráshoz és olvasáshoz, adatok archiválásához, merevlemezre ( ECC ) való íráshoz, CD/DVD lemezekre írásakor használják. Figyelemre méltó, hogy ha jelentős mennyiségű információ sérül, vagy ha a lemezes adathordozó több szektora megsérül, a Reed-Solomon kód lehetővé teszi az elveszett információk többségének helyreállítását. A BCH kódot egyes NASA -szondák (például a Voyager ) kommunikációs rendszerében is használják [35] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , p. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diszkrét elemzés. A magasabb algebra alapjai. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 p.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 65.
↑ Egorov A. A. Modulo-összehasonlítások és maradékszámítás // Kvant . - 1970. - 5. sz . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , p. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , p. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Információbiztonság. oktatóanyag. 2015. november 22-i verzió . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Véges mezők kézikönyve. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diszkrét elemzés. A magasabb algebra alapjai. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 p.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , p. tíz.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (francia) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, p. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről / ford. fr. I. G. Bashmakova, szerk. K. A. Rybnikova. - M. : IL, 1963. - S. 102.
↑ Israel Kleiner. Az absztrakt algebra története . - Birkhäuser, 2007. - 70. o . — 168 p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. A kiadatlan nyolcadik rész: Úton a véges mező feletti mezők működéséhez . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - P. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Egyszerű csoportok kettős végtelen rendszere (angol) // Chicago Congr. papírokat. - 1896. - P. 208-242. Az eredetiből archiválva : 2015. november 19.
↑ H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diszkrét elemzés. A magasabb algebra alapjai. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 p.
↑ R. Dedekind , Supplement XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. A kommunikáció matematikai elmélete // Művek az információelméletről és a kibernetikáról. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Kódok hibafelismeréssel és -javítással. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Megjegyzések a digitális kódolásról // Proceedings IRE. 1949. V. 37., 657. o.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. A kriptográfiai biztonsági szabvány az AES. Mezők vége . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 p. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatolij Bolotov, Szergej Gashkov, Alekszandr Frolov, Anatolij Csaszovskik. Elemi bevezetés az elliptikus kriptográfiába. Algebrai és algoritmikus alapok. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 p. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Th. szám. 12, 128-138 (1980).
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK Hibajavító bináris csoportkódok osztályán // Inform. ellenőrzés. - vol. 3. - 1960. márc. - p. 68-79.

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - új kiad., átdolgozva. és további - M. : MTSNMO, 2011. - 592 p. - 2000 példányban. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Véges mezők. 2 kötetben - M . : Mir, 1988. - 430 p. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu. I., Flerov Yu. A., Vyaly M. N. Diszkrét elemzés. A magasabb algebra alapjai. - 2. kiadás - M. : MZ Press, 2007. - 224 p. - 1000 példányban. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasziljev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Az elektromos kommunikáció elmélete. - Uljanovszk: UlGTU, 2008. - 452 p. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M. E. Új irányok a kriptográfiában // IEEE Trans . inf. Elmélet / F. Kschischang - IEEE , 1976. - 1. kötet. 22, Iss. 6. - P. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Izrael. Az absztrakt algebra története. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .