Fermat-Euler tétel

A Fermat-Euler tétel (más nevek Fermat karácsonyi tétele , a prímszámok két négyzet összegeként való ábrázolásának tétele ) így hangzik [1] :

Bármely prímszám , ahol egy természetes szám , ábrázolható két természetes szám négyzeteinek összegeként. $p=4n+1$ $n$

Más szavakkal,

p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},

hol van egy prímszám. $p$

A külföldi szakirodalomban ezt az állítást gyakran Fermat karácsonyi tételének nevezik, ahogy ez Pierre Fermat 1640. december 25-én küldött leveléből vált ismertté .

Példák:

5=1^{2}+2^{2}

, , , , , .

13=2^{2}+3^{2}

17=1^{2}+4^{2}

29=2^{2}+5^{2}

37=1^{2}+6^{2}

41=4^{2}+5^{2}

Ebből a kijelentésből, a Brahmagupta identitást használva, egy általános állítás következik:

Egy természetes szám akkor és csak akkor ábrázolható két négyzet (egész szám) összegeként, ha az alak prímszáma nem szerepel a prímtényezőkre való felosztásában páratlan mértékben. $4k+3$

Néha éppen ezt a tényt érti a Fermat-Euler-tétel.

Történelem

Ezt az állítást először Albert Girard fedezte fel 1632 -ben . Pierre Fermat Mersenne -nek írt levelében ( 1640 ) bejelentette, hogy bebizonyította ezt a tételt, de bizonyítékkal nem szolgált. 20 évvel később, Karkavynak írt levelében (1659 augusztusában) Fermat utal arra, hogy a bizonyítás a végtelen származás módszerén alapul .

Az első publikált bizonyítékot a végtelen származás módszerével Leonhard Euler találta 1742 és 1747 között . Később Joseph Lagrange , Carl Gauss , Hermann Minkowski , Jakobstahl és Don Zagier bizonyítást adtak más elképzelésekre . Az utolsó egy mondatos bizonyítás [2] .

Bizonyíték

Az egyik legrövidebb bizonyítást Don Zagir német matematikus találta ki [3] :

A véges halmaz involúciója definiálva ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\))$

$(x,y,z)\jobbra nyíl {\begin{cases}(x+2z,z,yxz),&x<yz\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z <x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}$

pontosan egy fix pontja van (amely egyenlő ha -val, és amelynek egyedisége az egyszerűségből következik ), tehát páratlan számú elemet tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az involúciónak is van fix pontja. ${\megjelenítési stílus (1,1,k)}$ $p=4k+1$ $p$ $S$ ${\megjelenítési stílus (x,y,z)\jobbra nyíl (x,z,y)}$

Van egy Wilson-tételen keresztüli bizonyítás is , amelyet Axel Thue talált ki [4] .

Irodalom

Bukhshtab A. A. Számelmélet. - M .: Az RSFSR Oktatási Minisztériumának állami oktatási és pedagógiai kiadója , 1960. - 375 p.
Senderov V., Spivak A. Négyzetösszegek és Gauss-egészek // Kvant, 3. sz. (1999), 14–22.
Dickson LE A számelmélet története // Vol. II. — Ch. VI. Két négyzet összege.

Jegyzetek

↑ Senderov V., Spivak A. Négyzetösszegek és Gauss-egészek archiválva 2019. november 26-án a Wayback Machine -nél // Kvant Archivált 2014. február 11-én a Wayback Machine -nél . - 3. szám (1999), 14-22.
↑ Egymondatos bizonyíték arra, hogy minden 4k+1 prímszám két négyzet összege
↑ Don Zagier bizonyításának összefoglalása . Letöltve: 2011. május 13. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)
↑ Fermat két tétele . Letöltve: 2020. február 17. Az eredetiből archiválva : 2019. június 26. (határozatlan)