Brahmagupta-Fibonacci identitás

A Brahmagupta-Fibonacci identitás , más néven Brahmagupta azonosság vagy diofantusi azonosság [1] [2] [3] [4] egy algebrai azonosság, amely megmutatja, hogy két négyzetösszeg szorzata hogyan ábrázolható négyzetösszegként ( és kétféleképpen):

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left( ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left (ad-bc\jobbra)^{2}.&&(2)\end{igazított}}

Az általános algebra szempontjából ez az azonosság azt jelenti, hogy két négyzet összes összegének halmaza szorzáskor zárt .

Példa: $(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

Történelem

Ezt az identitást először a Krisztus utáni 3. században tették közzé. e. Alexandriai Diophantus az „Aritmetika” értekezésében (III. könyv, 19. tétel). Brahmagupta indiai matematikus és csillagász a 6. században valószínűleg egymástól függetlenül fedezte fel és valamelyest általánosította az azonosságot egy tetszőleges paraméter hozzáadásával : $n$

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left( ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\jobb)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{igazított}}

Brahmagupta leírta az azonosságot a "Brahma-sphuta-siddhanta" ("Brahma továbbfejlesztett tanításai", 628) című értekezésében, és Pell egyenletét használta a megoldásra ( lent ).

Európában az identitás először Fibonacci Négyzetek könyvében ( Liber quadratorum ) (1225) jelent meg.

Komplex ábrázolás

Legyenek komplex számok . Ekkor a Brahmagupta-Fibonacci azonosság ekvivalens a komplex modul multiplikatív tulajdonságával : $a+bi,c+di$

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

Valójában mindkét oldal négyzetre emelésével a következőket kapjuk:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

vagy a modul definíciója szerint:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

Alkalmazások

A Pell-egyenlet megoldása

Ahogy fentebb említettük , Brahmagupta a (3), (4) azonosságát használta a Pell-egyenlet [5] megoldása során :

x^{2}-ny^{2}=1,

hol van egy természetes szám , amely nem négyzet. Brahmagupta először kiválasztotta az egyenlet kezdeti megoldását, majd az azonosságot a következő formában írta [5] : $n$

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Ez azt mutatja, hogy ha a hármasok és megoldást adnak az x 2 − Ay 2 = k egyenletre , akkor még egy hármas található ${\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1))$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2))$

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2})

és így tovább, végtelen számú megoldást kapva.

A Pell-egyenlet megoldásának általános módszere, amelyet 1150-ben tett közzé II. Bhaskara ( "csakravala" módszer ), szintén Brahmagupta azonosságára támaszkodik.

Egy egész szám felbontása két négyzet összegére

A Fermat–Euler-tétellel kombinálva a Brahmagupta–Fibonacci azonosság azt mutatja, hogy egy egész szám négyzetének és az alak tetszőleges számú prímjének szorzata négyzetek összegeként ábrázolható. $4m+1$

Változatok és általánosítások

Az azonosságot eredetileg egész számokra alkalmazták , azonban minden kommutatív gyűrűben vagy mezőben érvényes , mint például a polinomgyűrűben vagy a komplex számok mezőjében .

A Brahmagupta-Fibonacci azonosság az Euler -négyzetes azonosság vagy a Lagrange-azonosság (számelmélet) speciális esete . A négy négyzetes azonosság a kvaterniókra is vonatkozik , az analóg nyolc négyzetes azonosság pedig az oktonokra .

Jegyzetek

↑ Brahmagupta-Fibonacci identitás . Letöltve: 2020. augusztus 11. Az eredetiből archiválva : 2020. december 31. (határozatlan)
↑ Marc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , p. 60
↑ Stillwell, 2002 , p. 76
↑ Shanks, Daniel , Megoldott és megoldatlan problémák a számelméletben, 209. o., American Mathematical Society, 4. kiadás, 1993.
↑ 1 2 Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 195.

Irodalom

A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Joseph, George G. (2000), [ [1] a Google Booksban The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2. kiadás), Princeton University Press , p. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 , < [2] in " Google Books ">
Stillwell, John (2002), [ [3] in Google Books Mathematics and its history] (2. kiadás), Springer , p. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 , < [4] in " Google Books ">