Négy részből álló

Négy részből álló
Az alapítás / létrehozás / előfordulás dátuma	1843 [1]
Előző sorrendben	összetett szám
Következő sorrendben	Cayley algebra
Felfedező vagy Feltaláló	William Rowan Hamilton [1]
nyitás dátuma	1843
Törvényt vagy tételt leíró képlet	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Leírva a linkben	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( angol )


Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Quaterniók (a lat. quaterni szóból , mindegyikből négy ) - hiperkomplex számok rendszere, amely négyes dimenziójú vektorteret képez a valós számok mezője felett . Általában a szimbólummal jelölik . William Hamilton javasolta 1843 - ban . $\mathbb {H}$

A kvaterniók alkalmasak három- és négydimenziós euklideszi terek izometriáinak leírására , ezért széles körben használják a mechanikában . A számítási matematikában is használják – például háromdimenziós grafika készítésekor [2] .

Henri Poincare így írt a kvaterniókról: „Megjelenésük erőteljes lendületet adott az algebra fejlődésének ; ezekből kiindulva a tudomány a számfogalom általánosításának útját járta , eljutva a modern matematikát átható mátrix és lineáris operátor fogalmáig. Az aritmetika forradalma volt, hasonló ahhoz, amit Lobacsevszkij a geometriában tett ” [3] .

Definíciók

Standard

A kvaterniókat összegként definiálhatjuk

q=a+bi+cj+dk

hol vannak a valós számok $a,b,c,d$

{\megjelenítési stílus i,j,k}

képzeletbeli egységek a következő tulajdonsággal: , míg páronkénti szorzatuk eredménye a sorrendtől függ (nem kommutatív ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Az alapvető kvaterniók szorzótáblája

{\megjelenítési stílus 1,i,j,k}

x	egy	én	j	k
egy	egy	én	j	k
én	én	-egy	k	-j
j	j	-k	-egy	én
k	k	j	-én	-egy

Mint egy vektor és egy skalár

A kvaternió egy olyan pár , ahol egy háromdimenziós térvektor, és egy skalár, azaz egy valós szám . $\left(a,{\vec {u}}\jobb),$ ${\vec {u}}$ $a$

Az összeadási műveletek meghatározása a következő:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\right).

A termék meghatározása a következő:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\jobbra),

ahol a skaláris szorzatot jelöli , és a vektorszorzatot jelöli . $\cdot$ $\szor$

Különösen,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ right)=\left(0,a{\vec {v}}\jobbra),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).

Figyeld meg, hogy:

A kvaterniókra vonatkozó algebrai műveletek disztributív tulajdonsággal rendelkeznek ;
A vektorszorzat antikommutativitása magában foglalja a kvaterniók szorzatának nem kommutativitását.

Komplex számokon keresztül

Egy tetszőleges kvaternió komplex számpárként ábrázolható a formában $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

vagy azonos

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

hol vannak a komplex számok, mivel ez a komplex számokra és a kvaterniókra is igaz, és . $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=ij$

Mátrix reprezentációkon keresztül

Valós mátrixok

A kvaterniók a következő formájú valós mátrixokként is definiálhatók a szokásos mátrixszorzattal és összeggel:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Ezzel a bejegyzéssel:

a konjugált kvaternió megfelel a transzponált mátrixnak: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
a kvaterniómodulus negyedik hatványa egyenlő a megfelelő mátrix determinánsával: $\left|q\right|^{4}=\det Q.$

Komplex mátrixok

Alternatív megoldásként a kvaterniók a következő formájú komplex mátrixokként definiálhatók, a szokásos mátrixszorzattal és összeggel:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta }&{\bar \alpha }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

itt és jelölje a k és a komplex konjugált számokat . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alpha$ $\beta$

Ennek az ábrázolásnak számos figyelemre méltó tulajdonsága van:

egy komplex szám egy átlós mátrixnak felel meg;
a konjugált kvaternió megfelel a konjugált transzponált mátrixnak: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
a kvaterniómodulus négyzete egyenlő a megfelelő mátrix determinánsával: $\left|q\right|^{2}=\det Q.$

Kapcsolódó objektumok és műveletek

Kvaternióra

q=a+bi+cj+dk

a kvaterniót skaláris résznek , a kvaterniót pedig vektor résznek nevezzük . Ha akkor a kvaterniót tisztán skalárnak , a mikor pedig tisztán vektornak nevezzük . $a$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a=0$

Ragozás

Kvaternió esetén a konjugátum a következő: $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

A konjugátum termék a konjugátumok szorzata fordított sorrendben:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

A kvaternióknál az egyenlőség

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Modul

Csakúgy, mint a komplex számoknál,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

modulnak nevezzük . Ha akkor egységkvaterniónak nevezzük . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

A kvaternió normájaként általában a modulusát tekintik: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|$

Így a kvaterniók halmazán bevezethető egy metrika. A kvaterniók az euklideszi metrikával izomorf metrikus teret alkotnak . $\R^4$

A modulussal rendelkező kvaterniók egy Banach-algebrát alkotnak .

Szorzás (osztás) megfordítása

A kvaterniót, a szorzással fordítottan , a következőképpen számítjuk ki: . $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Algebrai tulajdonságok

A kvaterniók halmaza egy példa egy szilárdtestre , azaz egy gyűrűre, amelynek osztása és egy. A kvaterniók halmaza egy négydimenziós asszociatív osztási algebrát alkot a valós (de nem komplex) számok mezején.

A Frobenius-tétel szerint a , testek az egyetlen véges dimenziós asszociatív osztási algebrák a valós számok területén. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

A kvaterniós szorzás nem kommutativitása váratlan következményekhez vezet. Például egy polinomiális egyenlet különböző gyökeinek száma egy kvaterniók halmazán nagyobb lehet, mint az egyenlet mértéke. Konkrétan az egyenletnek végtelen sok megoldása van – ezek mind egységnyi tisztán vektorkvaterniók. $q^{2}+1=0$

Négy alapvető kvaternió és négy ellentétes jelű kvaterniók alkotják ( 8 -as rendű ) szorzás útján. Kijelölve:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\jobbra\}.

Kvaterniók és térforgatások

A kvaterniók, amelyeket a feletti algebrának tekintünk, egy négydimenziós valós vektorteret alkotnak . Ennek a térnek a -hoz viszonyított tetszőleges elforgatása felírható úgy , hogy , ahol és egységkvaterniók párja, míg a pár egy előjelig van meghatározva, azaz egy elforgatást pontosan két pár - és . Ebből következik, hogy a forgatások Lie csoportja a faktorcsoport , ahol az egységkvaterniók multiplikatív csoportját jelöli. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(-\xi ,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\times S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

A tisztán vektorkvaterniók háromdimenziós valós vektorteret alkotnak. A tisztán vektorkvaterniók terének tetszőleges elforgatása a -hoz képest felírható így , ahol valamilyen egységkvaternió. Ennek megfelelően a , különösen, diffeomorf a -hoz . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z} _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

"Egész" kvaterniók

A kvaternió normájaként a modulusának négyzetét választjuk: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$

A Hurwitz egész számokat kvaternióknak nevezzük , így mindegyik egész szám és azonos paritású. $a+bi+cj+dk$ $2a, 2b, 2c, 2d$

Egész quaterniót nevezünk

még
páratlan
egyszerű

ha normája ugyanazzal a tulajdonsággal rendelkezik.

Egy egész kvaterniót primitívnek nevezünk, ha nem osztható más természetes számmal , mint egész számmal (más szóval ). $egy$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\jobb)\leq 2$

Integer unit quaternions

24 egész számú egységnegyed van:

\pm 1

; ; ; ;

\pm i

\pmj

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

Szorzás útján alkotnak egy csoportot, egy szabályos 4 dimenziós poliéder csúcsaiban helyezkednek el - egy 3 köboktaéder (nem tévesztendő össze egy 3 dimenziós poliéder- kuboctaéderrel ).

Felbontás prímtényezőkre

A primitív kvaterniókra az aritmetika alaptételének analógja igaz .

Tétel. [4] A kvaternió-norma pozitív egész számok szorzatára történő felbontásának bármely rögzített sorrendje esetén létezik egy kvaternió-felbontás egyszerű kvaterniók szorzatára úgy, hogy . Sőt, ez a bővítés egyedi modulo szorzás mértékegységekkel, ami azt jelenti, hogy minden más bővítés a következő formában lesz $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

ahol , , , … egész számú egységnegyedek. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

Például egy primitív kvaternió normája 60, ami azt jelenti, hogy egységekkel modulo szorzás esetén pontosan 12 kiterjesztése van egyszerű kvaterniók szorzatára, ami megfelel a 60-as szám 12 prímszámok szorzatára történő kiterjesztésének: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Egy ilyen kvaternió kiterjesztésének teljes száma: $24^{3}\cdot 12=165888$

Quaternion Variable Functions

Segítő funkciók

A kvaterniójelet a következőképpen számítjuk ki:

\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

A kvaternió argumentum a 4D térben a kvaternió és a valós egység közötti szög:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

A továbbiakban az adott kvaternió alakbeli ábrázolását használjuk $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Itt van a kvaternió valódi része, . Ugyanakkor tehát a valós egyenes sík, amely áthalad a komplex számok algebráján, és rendelkezik a komplex számok algebrájának szerkezetével, amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges analitikai függvényeket vigyünk át a kvaterniók esetére. Akkor felelnek meg a standard relációknak, ha minden argumentum fix egységvektor formájú . Ha különböző irányú kvaterniókat kell figyelembe venni, akkor a képletek sokkal bonyolultabbá válnak a kvaternialgebra nem kommutativitása miatt. $a$ ${\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i}}$

Elemi függvények

Az analitikus függvények standard definíciója asszociatív normált algebrán ezen függvények hatványsorokká való kiterjesztésén alapul. Az ilyen függvények definíciójának helyességét bizonyító érvek teljesen analógok az összetett esettel, és a megfelelő hatványsorok konvergencia sugarának kiszámításán alapulnak. Adott kvaternióra vonatkozó fenti "komplex" ábrázolás alapján a megfelelő sorozat az alábbi kompakt formára redukálható. Íme csak néhány a leggyakoribb analitikai függvények közül; hasonlóképpen bármilyen analitikus függvény kiszámítható. Az általános szabály a következő: ha komplex számokra vonatkozik, akkor hol van a kvaternió a "komplex" ábrázolásban . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i))$

Fok és logaritmus

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\jobbra)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u))))

Vegye figyelembe, hogy a komplex elemzéshez hasonlóan a logaritmus csak -ig definiálható . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Trigonometrikus függvények

\sin q=\sin a\,\operátornév {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operátornév {sh}\left|{\mathbf {u}}\jobb |{\kalap {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operátornév {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operátornév {sh}\left|{\mathbf {u}}\jobb |{\kalap {{\mathbf {u}}}}

\operátornév {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Lineáris megjelenítés

A kvaternió-algebra- leképezést lineárisnak nevezzük, ha az egyenlőségek $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

hol van a valós számok mezője. Ha a kvaternió-algebra lineáris leképezése, akkor bármely leképezéshez $\mathbb {R}$ $f$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

egy lineáris leképezés. Ha az azonosságleképezés ( ), akkor bármelyik esetén azonosíthatjuk a tenzorszorzatot a leképezéssel $f$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

(a\otimes b)\circ x=axb

Bármely lineáris leképezéshez létezik egy tenzor , , úgy, hogy $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1))$

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1))

A fenti egyenlőségek az index összegét feltételezik . Ezért azonosítani tudjuk a lineáris leképezést és a tenzort . $s$ $f$ $a$

Szokásos függvények

Különböző módok léteznek egy kvaterniós változó reguláris függvényeinek meghatározására. A legkifejezettebb a kvaterniálisan differenciálható függvények figyelembevétele, míg a jobbra -differenciálható és balra - differenciálható függvények tekinthetők, amelyek a kvaterniós szorzás nem kommutativitása miatt nem esnek egybe. Nyilvánvaló, hogy elméletük teljesen analóg. A kvaternió-bal differenciálható függvényt határértékként határozzuk meg $f$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\jobbra)\jobbra)\jobbra]

Kiderült, hogy a pont valamely szomszédságában minden ilyen függvénynek van alakja $q$

f=a+qb

hol vannak az állandó kvaterniók. Egy másik módszer az operátorok használatán alapul $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

és olyan kvaterniós függvények figyelembevétele , amelyekre [5] $f$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

ami teljesen analóg az operátorok használatával és az összetett esetben. Ebben az esetben az integrál Cauchy-tétel analógjai, a maradékok elmélete , a harmonikus függvények és a kvaterniós függvények Laurent -sorai származnak [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

A leképezések differenciálása

A folytonos leképezést a halmazon differenciálhatónak nevezzük, ha a leképezés változása minden pontban így ábrázolható $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\u-ban$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

ahol

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

a kvaternió algebra lineáris térképe és egy olyan folytonos térképe, hogy $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

A lineáris leképezést a leképezés deriváltjának nevezzük . ${\frac {df(x)}{dx))$ $f$

A derivált a következőképpen ábrázolható: [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Ennek megfelelően a leképezési differenciál alakja $f$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Itt az index szerinti összegzést feltételezzük . A kifejezések száma a függvény választásától függ . A és kifejezéseket a derivált összetevőinek nevezzük. $s$ $f$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

Egy tetszőleges kvaternió esetén az egyenlőség $a$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

A szorzás típusai

Grassmann szorzás

Ez egy másik neve a kvaterniók általánosan elfogadott szorzásának ( ). $pq$

Euklideszi szorzás

Abban különbözik az általánosan elfogadotttól, hogy az első faktor helyett a hozzá tartozó konjugátumot veszik: . Nem kommutatív is. ${\bar p}q$

Pontos termék

Hasonlóan a vektorok azonos nevű műveletéhez:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Ezzel a művelettel kiválasztható az egyik együttható, például . $\left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b$

A kvaternió modulus definíciója módosítható:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Külső termék

\operátornév {Külső}\left(p,q\jobbra)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Nem túl gyakran használják, de a pontszerű termék mellett figyelembe vették.

Vektor termék

Hasonló a vektorok azonos nevű műveletéhez. Az eredmény egy vektor is:

p\times q={\frac {pq-qp}{2))

Az előzményekből

A kvaterniós rendszert először Hamilton publikálta 1843 -ban . A tudománytörténészek szintén találtak vázlatokat erről a témáról Gauss 1819-1820 közötti kiadatlan kézirataiban [ 9 ] . Euler a kvaterniókat is figyelembe vette. B. O. Rodrigue (1840), amikor egy abszolút merev test forgását vizsgálta, levezette a kvaterniók szorzásának szabályait [10] [11] .

A 19. századi komplex elemzés gyors és rendkívül gyümölcsöző fejlődése felkeltette a matematikusok érdeklődését a következő probléma iránt: újfajta számok megtalálása, amelyek tulajdonságaiban hasonlóak a komplex számokhoz , de nem egy, hanem két képzeletbeli egységet tartalmaznak. Feltételezték, hogy egy ilyen modell hasznos lenne a matematikai fizika térbeli problémáinak megoldásában. Az ebben az irányban végzett munka azonban nem járt sikerrel. Hamilton [11] ugyanezzel a problémával foglalkozott .

Egy újfajta számot fedezett fel William Hamilton ír matematikus 1843 - ban , amely nem két, mint az várható volt, hanem három képzeletbeli egységet tartalmazott. Hamilton először dublettekkel (síkpontokkal) dolgozott, és könnyen megszerezte a komplex számoknak megfelelő szorzási szabályokat, de a térbeli pontokra ( hármasok ) nem tudott ilyen halmazokra szorzási képletet szerezni. Végül úgy döntöttem, hogy kipróbálom a négyeseket - pontokat a négydimenziós térben. Hamilton ezeket a számokat kvaternióknak nevezte [12] . Később Frobenius szigorúan bebizonyította ( 1877 ) azt a tételt , amely szerint lehetetlen egy komplex mezőt két képzeletbeli egységgel rendelkező mezőre vagy testre kiterjeszteni [13] .

A kvaterniók fejlesztése és alkalmazása a fizikában három összefüggő utat követett: az algebrai megközelítéssel, amelynek apologétái Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce és Frobenius voltak; az összetett kvaterniók elméletével, amelynek képviselői Clifford, Studi és Kotelnyikov voltak ; fizikával a Maxwell és Heaviside elnevezések miatt [14] . Az új számok szokatlan tulajdonságai (nem kommutativitásuk) ellenére ez a modell gyorsan gyakorlati hasznot hozott. Maxwell kompakt kvaterniós jelölést használt az elektromágneses téregyenletek megfogalmazásához. [15] Később a kvaternió algebra alapján megalkották a háromdimenziós vektoranalízist ( Gibbs , Heaviside ) [16] . A kvaterniók használatát felváltotta a vektoranalízis az elektrodinamikai egyenletek közül. A Maxwell-egyenletek kvaterniókkal való szoros kapcsolata azonban nem korlátozódik az elektrodinamikára, mivel az SRT négyvektoros megfogalmazását Minkowski konstruálta meg az SRT elméletében A. W. Conway és Silberstein kvaternióinak felhasználásával [ 17] . A kvaterniók fizikában való használatának háború utáni időszaka az elemi részecskefizikában a csoportok elméletének és reprezentációinak elterjedéséhez kapcsolódik. Lehetőség van arra is, hogy a kvantummechanika standard Hilbert-terét a kvaterniók ferde mezője feletti definíciójával helyettesítsük [18] .

Modern alkalmazás

A 20. században számos kísérlet történt kvaterniómodellek alkalmazására a kvantummechanikában [19] és a relativitáselméletben [20] . A Quaternionok valódi alkalmazásra találtak a modern számítógépes grafikában és játékprogramozásban [21] , valamint a számítási mechanikában [22] [23] , az inerciális navigáció- és vezérléselméletben [24] [25] . 2003 óta jelenik meg a Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics című folyóirat [26] .

Számos alkalmazásban általánosabb és gyakorlatiasabb eszközöket találtak, mint a kvaterniókat. Például manapság a térbeli mozgások tanulmányozására leggyakrabban a mátrixszámítást alkalmazzák [27] . Azonban ahol fontos a háromdimenziós forgatás megadása a minimális számú skaláris paraméter használatával , gyakran előnyösebb a Rodrigues-Hamilton-paraméterek (vagyis a forgatási kvaternió négy összetevője) használata: az ilyen leírás soha nem degenerálódik. , és ha három paraméterrel írjuk le az elforgatásokat (például Euler-szögek ), ezeknek a paramétereknek mindig vannak kritikus értékei, amikor a leírás elfajul [22] [23] .

A feletti algebraként a kvaterniók egy valós vektorteret alkotnak, amely egy (1,2) típusú harmadik rangú tenzorral van felszerelve, amelyet néha struktúratenzornak is neveznek . Mint minden ilyen típusú tenzor, minden 1-es alakot leképez egy valós számra, és egy vektorpárt -ból valós számra . Bármilyen rögzített 1-es alak esetén egy második rangú kovariáns tenzorrá alakul, amely szimmetriája esetén a belső szorzata lesz a -n . Mivel minden valós vektortér egyben valós lineáris sokaság is , egy ilyen belső szorzat egy tenzormezőt generál, amely, feltéve, hogy nem degenerált, (ál- vagy megfelelő) euklideszi metrikává válik a -n . A kvaterniók esetében ez a belső szorzat határozatlan , aláírása független az 1-es alaktól , a megfelelő pszeudoeuklideszi metrika pedig a Minkowski-metrika [28] . Ez a metrika automatikusan kiterjesztésre kerül a nem nullától eltérő kvaterniók Lie -csoportjára a bal oldali invariáns vektormezők mentén, így létrejön az úgynevezett zárt FLRU (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) metrika [29] , amely az Einstein-egyenletek fontos megoldása. . Ezek az eredmények tisztázzák a kvantummechanika és az általános relativitáselmélet közötti kompatibilitás problémájának néhány aspektusát a kvantumgravitáció elméletének keretein belül [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\left(a,b\jobb)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\left(t,a,b\jobb)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebrák , gyűrűk és modulok (angol) - Springer Science + Business Media , 2004. - 12. o. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions a játékprogramozásban Archiválva : 2009. július 25. a Wayback Machine -nél ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (150. születésnapja alkalmából) // Proceedings of the Institute of the Natural Science History. - Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 15 (A fizikai és matematikai tudományok története) . - S. 273. .
↑ John C. Baez. A kvaterniókról és az oktonokról: geometriájuk, aritmetikájuk és szimmetriájuk, John H. Conway és Derek A. Smith . - Felülvizsgálat. Letöltve: 2009. február 7. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 22..
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Megjegyzés. matematika. Helv. 8, 371-378., 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, Matematika Tanszék, Yorki Egyetem, 1977.
↑ A kifejezés nem tört, és egyetlen karakterként kell kezelni. Ez a jelölés a származékos jelöléssel való kompatibilitás érdekében javasolt. A kifejezés értéke adott esetben negyedrész. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$
↑ Fiának, Archibaldnak írt, 1865. augusztus 5-én kelt levelében Hamilton ezt írja: „... De természetesen a feliratot már törölték” ( L. S. Polak A mechanika variációs elvei, fejlesztésük és alkalmazása a fizikában. - M .: Fizmatgiz, 1960. - 103-104.
↑ Bourbaki N. . A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - M . : Külföldi irodalom, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. A szilárd rendszer térbeli mozgását és az ezekből adódó koordináták változását szabályozó geometriai törvények, függetlenül az ezeket kiváltó okoktól = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des cēlonis qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin és Tolkachev, 2003 , p. 5.
↑ Miscsenko és Szolovjov, 1983 , p. 11-12.
↑ Miscsenko és Szolovjov, 1983 , p. tizenöt.
↑ Berezin, Kurochkin és Tolkachev, 2003 , p. 6-8.
↑ A. N. Krylov P. P. Lazarev akadémikus munkájának áttekintése. Archiválva : 2017. május 3. a Wayback Machine -nál
↑ Berezin, Kurochkin és Tolkachev, 2003 , p. nyolc.
↑ Berezin, Kurochkin és Tolkachev, 2003 , p. 9.
↑ Berezin, Kurochkin és Tolkachev, 2003 , p. tíz.
↑ Kurochkin Yu. A. Quaternionok és néhány alkalmazása a fizikában. Disszertáció preprint No. 109. - A BSSR Tudományos Akadémia Fizikai Intézete. – 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamilton kvaterniók számítása // Hamilton W. R. Válogatott művek: optika, dinamika, kvaterniók. - M . : Nauka, 1994. - (A tudomány klasszikusai). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Kvaterniók alkalmazása számítógépes geometriában és grafikában. - Minszk: BGU Kiadó, 2010. - 216 p. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Szilárdtestrendszerek dinamikája. — M .: Mir, 1980. — 292 p. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu. Bevezetés a testrendszerek dinamikájának modellezésébe. - Brjanszk: BSTU Kiadó, 1997. - 156 p. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu. Tájolás, giroszkópok és inerciális navigáció. — M .: Nauka, 1976. — 672 p. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Az inerciális navigáció egyenletei és a téridő kvaternióelmélete . Letöltve: 2013. december 9. archiválva az eredetiből: 2013. december 13. (határozatlan)
↑ Folyóirat "Hiperkomplex számok a geometriában és a fizikában" . Letöltve: 2014. március 13. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 26.. (határozatlan)
↑ Klein F. Előadások a matematika fejlődéséről a 19. században . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 p.
↑ Vladimir Trifonov A négydimenziós probléma lineáris megoldása // Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, No. 8 / 1995.12. - P. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov , a nullától eltérő kvaterniók természetes geometriája // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 46, No. 2 / 2007.02. - 251-257. o. - ISSN 0020-7748 (Nyomtatott) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-barát leírás a kvantumrendszerekről // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 47, No. 2 / 2008.02. - 492-510. oldal - ISSN 0020-7748 (Nyomtatott) ISSN 1572-9575 (Online).

Irodalom

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Hiperkomplex számok . — M .: Nauka , 1973. — 144 p.
Mishchenko A. S. , Solovyov Yu. P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Kvaterniók a relativisztikus fizikában . - 2. - M . : Szerkesztői URSS, 2003. - S. 12 . — 202 p. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Archivált : 2007. szeptember 27. a Wayback Machine -nél – Kvaderniák alkalmazása 3D grafikára.
Quaternions. Quaters.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - 5. sz . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 p. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Algebra a gyűrű felett
Méret – 2 teljesítménye	Komplex számok (2-es méret) $\mathbb {C}$ Quaterniók (4-es méret) $\mathbb {H}$ Cayley számok/oktonok/oktávok (8-as méret) $\mathbb O$ Sedenions (16-os méret) $\mathbb S$
Lásd még	Frobenius tétel Hiperkomplex szám Algebra Test képzeletbeli egység