Kommutativitás

Kommutativitás , kommutatív törvény ( késő latin commutativus - változó) - a " " bináris művelet tulajdonsága , amely az argumentumok átrendezésének lehetőségéből áll: $\circ$

x\circ y=y\circ x

bármely elemhez .

x,\;y

Különösen, ha a csoport művelet kommutatív, akkor a csoportot Abel -nek mondjuk . Ha egy gyűrűben a szorzás művelete kommutatív, akkor a gyűrűt kommutatívnak mondjuk.

A kommutativitás kifejezést François Joseph Servois francia matematikus vezette be 1815 -ben .

Példák:

A valós számok összege és szorzata kommutatív: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
a konjunkció és a diszjunkció kommutatív: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
az unió , a metszéspont és a szimmetrikus halmaz különbség kommutatív: $A \pohár B = B \pohár A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \nagyháromszög B = B \nagyháromszög A.$

Sok bináris művelet asszociatív , de általában nem kommutatív, mint például a mátrixszorzás :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, de

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​= \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

és karakterlánc összefűzés :

"a" + "b" = "ab", de "b" + "a" = "ba".

Ráadásul nem minden kommutatív művelet asszociatív (vannak kommutatív magmák nem asszociatív művelettel).

A kommutativitás fogalmának számos általánosítása létezik kettőnél több argumentummal rendelkező műveletekre (a szimmetria különböző változatai).

A kommutatív műveletek az algebrai struktúrák kiterjedt rétegét alkotják , amelyek számos „jó” tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek nem rejlenek a nem kommutatív struktúrákban (például kommutatív csoportok a nem Abel -féleekkel összehasonlítva ), a matematika számos ágában, a a problémák kommutatív struktúrákra való redukálását használják jobban tanulmányozott és kényelmesebb tulajdonságok tekintetében. A kommutatív algebra egy általános algebrai irány, amely a kommutatív gyűrűk és a kapcsolódó kommutatív objektumok ( modulok , ideálok , osztók , mezők ) tulajdonságait vizsgálja .

Linkek

Kommutativitás // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Kommutativitás - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . D. M. Szmirnov