Modul a gyűrű felett

A gyűrű feletti modul az általános algebra egyik alapfogalma , amely két algebrai fogalom általánosítása - egy vektortér (valójában a vektortér egy mező feletti modul ) és egy Abel-csoport (ami egy modul az egész számok gyűrűje felett ). $\mathbb {Z}$

A modulus fogalma a kommutatív algebra középpontjában áll , amely fontos szerepet játszik a matematika különböző területein, mint pl.

Motiváció

Egy vektortérben skalárkészlet alkot egy mezőt , és a skalárral való szorzás több axiómát is kielégít , például a szorzás eloszlását . A modulban csak az szükséges, hogy a skalárok gyűrűt alkossanak (asszociatív, egységgel ), az axiómák változatlanok maradnak.

A modulok elméletének nagy része a vektorterek ismert tulajdonságainak általánosítására tett kísérletekből áll, ehhez néha „jól viselkedő” gyűrűkre, például fő ideális tartományokra kell korlátozni magát . Általában azonban a modulok összetettebbek, mint a vektorterek. Például nem minden modul választhat bázist , sőt azok is, amelyekben ez lehetséges , több bázist is tartalmazhatnak különböző elemszámmal (nem kommutatív gyűrű esetén).

Definíciók

Legyen egy gyűrű (általában kommutatívnak tekintik az identitás elemmel ). Az A -modul egy Abel-csoport a gyűrű elemeivel való szorzás műveletével : $R\$ $1\in R$ $R$ $M\$ $R\$

R\x M\ to M,\quad (r,m)\mapsto rm,

amely megfelel a következő feltételeknek:

egy)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\forall m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

négy)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Megjegyzés: Nem kommutatív gyűrű esetén az ilyen modulokat gyakran balnak nevezik . Ebben az esetben a jobb oldali modulok azok az objektumok, amelyekben az 1) feltételt a következő helyettesíti:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

amelyet sokkal kényelmesebb úgy megfogalmazni, hogy a gyűrű elemet a modulelemtől jobbra írjuk : $m$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ innen ered a terminológia.

Kommutatív gyűrű esetén a bal és a jobb oldali modul definíciója megegyezik, és egyszerűen moduloknak nevezzük őket. $R\$

Bármely gyűrű tekinthető modulnak önmaga felett (nem kommutatív esetben egyben jobb modul is önmagával szemben). $R\$

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

Egy modul almodulja a csoport egy olyan alcsoportja , amely a -ból származó elemekkel való szorzásra zárva van , vagyis úgy, hogy: $ÚR}\$ $B\$ $M\$ $R\$

\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B

Ha egy gyűrűt bal oldali modulnak tekintünk önmaga felett, akkor az almoduljai bal ideálisak ; ha a gyűrűt helyes modulnak tekintjük, akkor a megfelelő ideálok szerint. Kommutatív esetben a bal- és a jobboldali ideál fogalma egybeesik. $R$

A homomorfizmus vagy a -modulok homomorfizmusa olyan csoporthomomorfizmus , amelyre a további feltétel teljesül . Az összes ilyen homomorfizmus halmazát jelöli . Ezen a halmazon bevezethető egy Abel-csoport szerkezete a 0 és a következő egyenlőségek meghatározásával: $R$ $,R$ $A$ $B$ $\phi :A\-tól B-ig$ $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Ha a modul almodulja , akkor a hányados modult az elemek ekvivalenciaosztályainak halmazának tekinthetjük, ha meghatározzuk az elemek közötti ekvivalencia relációt: $N$ $M$ $M/N$ $M$

a\sim b

akkor és csak akkor .

ba

N

A faktormodul elemeit általában jelöljük . Az összeadás és szorzás műveleteit képletek határozzák meg . $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Példák

Bármely Abeli-csoport egy egész számok gyűrűje feletti modul.
Bármely korlátos Abel-csoport (azaz egy olyan Abel-csoport , amelyben ) egy modulo a maradékosztályok gyűrűje felett . $n$ $A$ $nA=0$ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
A mező feletti lineáris tér modulo over . $F$ $F$
A lineáris tér egy modul az összes lineáris transzformációja gyűrűjén $V$ $L(V)$
A sima elosztón lévő differenciálformák természetes modulszerkezettel vannak felszerelve az összes sima funkció gyűrűjén . $M$ $M$
Ha I az R gyűrű baloldali ideálja , akkor ez egy bal oldali modul lesz ezen a gyűrűn. Hasonlóképpen, a megfelelő ideálokból megfelelő modulok lesznek.

Modultípusok

Véglegesen generált modulok
Ciklikus modulok : Egy modult ciklikusnak nevezünk, ha egyetlen elem generálja.
Ingyenes modulok
Projektív modulok
Injektív modulok
Felbonthatatlan modulok : Egy modult felbonthatatlannak mondunk, ha nem nulla, és nem bontható fel két nem nullától eltérő modul közvetlen összegére .
Teljesen felbontható modulok : olyan modulok, amelyek felbonthatatlanok közvetlen összegére bonthatók.
Egyszerű modulok
Félig egyszerű modulok
Artin modulok
Noether-modulok

Történelem

A modulok legegyszerűbb példái (véges Abeli-csoportok, azaz -modulok) már Gaussban is megjelennek a bináris másodfokú formák osztálycsoportjaként. A modul általános fogalmával először az 1960-as és 1980-as években találkozhatunk. század Dedekind és Kronecker munkáiban , amelyek az algebrai számok és algebrai függvények mezőinek aritmetikájának szentelték. A véges dimenziós asszociatív algebrák, és különösen a véges csoportok csoportalgebráinak (B. Pierce, F. Frobenius ) nagyjából ugyanebben az időben végzett vizsgálata néhány nem kommutatív gyűrű ideáljának vizsgálatához vezetett. Kezdetben a modulok elmélete főként valamilyen gyűrű ideálelméleteként fejlődött ki. Csak később, E. Noether és W. Krull munkáiban vették észre, hogy kényelmesebb sok eredményt tetszőleges modulok, és nem csak ideálok alapján megfogalmazni és bizonyítani. $\mathbb {Z}$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.