Ideális (algebra)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az ideális az általános algebra egyik alapfogalma . Az ideálok a legfontosabbak a gyűrűelméletben , de félcsoportokra , algebrákra és néhány más algebrai struktúrára is meghatározhatók . Az "ideális" név az " ideális számokból " származik, amelyeket 1847-ben E. E. Kummer német matematikus vezetett be [1] . Az ideál legegyszerűbb példája a páros számok részgyűrűje az egész számok gyűrűjében . Az ideálok kényelmes nyelvet biztosítanak a számelmélet eredményeinek általános gyűrűkre történő általánosításához.

Például a gyűrűkben prímszámok helyett prímideálokat tanulmányoznak; a másodpímszámok általánosításaként bevezetik a másodprím ideálokat; bebizonyítható az ideálokra vonatkozó kínai maradéktétel analógja .

A gyűrűk néhány fontos osztályában (az úgynevezett Dedekind -gyűrűkben) akár az aritmetika alaptételének analógját is megkaphatjuk : ezekben a gyűrűkben minden nullától eltérő ideál egyedileg reprezentálható az elsődleges ideálok szorzataként.

Ideális példa a 6-tal osztható egész számok halmaza: ha a gyűrűben vesszük figyelembe . Ez a halmaz ideális, mert mind a két ilyen szám összege, mind pedig bármelyik egész szám szorzata benne van ebben a halmazban. Ebben az esetben ugyanaz a halmaz nem lesz ideális a valós számok gyűrűjében, mivel ezeknek a számoknak egy tetszőleges valós számmal való megszorzásának eredménye általános esetben nem szerepel ebben a halmazban. ${\displaystyle \{\pontok ,-12,-6,0,6,12,18,24\pontok \))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Definíció

Egy gyűrű esetében az ideál olyan részgyűrű , amely a -ból származó elemekkel való szorzás alatt zárva van . Sőt, egy ideált balnak (illetve , jobbnak ) nevezzük, ha a bal oldalon (illetve a jobb oldalon) a -ból származó elemekkel való szorzás alatt zárva van . A bal és jobb oldali ideált kétoldalinak nevezzük . A kétoldalú ideált gyakran egyszerűen ideálnak nevezik . Kommutatív esetben ez a három fogalom egybeesik, és mindig az ideális kifejezést használjuk . $R$ $R$ $R$

Pontosabban: A gyűrű ideálja a gyűrű olyan részgyűrűje, amely $R$ $én$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ termék (feltétel a megfelelő ideálokon); $ir\in I$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ termék (feltétel a bal oldali ideálokon). $ri\in I$

Hasonlóképpen, egy félcsoport esetében az ideál egy olyan részcsoport, amelyre ezen feltételek egyike igaz (vagy mindkét feltétel egy kétoldalú ideál esetén), ugyanez igaz az algebrára.

Megjegyzés

Egy -algebra esetén ( egy gyűrű feletti algebra ) a gyűrű ideálja általában véve nem lehet az algebra ideálja , mivel ez az algyűrű nem feltétlenül a -algebrája , vagyis egyben részmodulja is lesz. vége . Például, ha van egy nulla szorzású -algebra, akkor a gyűrű összes ideáljának halmaza egybeesik az additív csoport összes alcsoportjának halmazával, és az algebra összes ideáljának halmaza egybeesik az összes altér halmazával. a vektor -tér . Abban az esetben azonban, ha az algebra egységnyi, mindkét fogalom egybeesik. $R$ $A$ $R$ $A$ $A$ $R$ $A$ $k$ $A$ $A$ $A$ $k$ $A$ $A$

Kapcsolódó definíciók

Minden gyűrű esetében maga és a nulla ideál (kétoldalú) ideál. Az ilyen ideálokat triviálisnak nevezzük . A megfelelő ideálok olyan ideálok, amelyek saját részhalmazukat alkotják , vagyis nem esnek egybe mindennel [2] [3] . $R$ $R$ $0$ $R$
A gyűrűk és algebrák sok osztályát az ideális vagy ideális rácsra vonatkozó feltételek határozzák meg. Például:
- Az olyan gyűrűt, amelynek nincsenek nem triviális kétoldalú ideáljai, egyszerűnek nevezzük .
- A nem triviális ideálok nélküli gyűrű (nem feltétlenül kétoldalú) egy gyűrű . Lásd még: főideális gyűrű , Artinianus gyűrű , Noéteri gyűrű .

Bármely egységgel rendelkező kommutatív gyűrű egy topológiai térhez van társítva – a gyűrű spektrumához, amelynek minden pontja a gyűrű kivételével a primer ideál, a zárt halmazokat pedig primer ideálok halmazaiként határozzuk meg , amelyek a gyűrű elemeinek egy halmazát tartalmazzák (vagy , ami megegyezik, az e halmaz által generált ideál). Ezt a topológiát Zariski topológiának nevezik . $\operátornév{Spec} A$ $A$ $A$ $E$ $A$ $én$

Az ideál fogalma szorosan összefügg a modul fogalmával . Az ideális (jobb vagy bal) egy gyűrű almoduljaként definiálható, amely maga fölött jobb vagy bal modulnak tekinthető.

Tulajdonságok

Az R - ben lévő bal ideálok jobboldali ideálok az ún. ellentétes gyűrű - olyan gyűrű, amely ugyanazokkal az elemekkel és ugyanazzal az összeadással rendelkezik, mint az adott, de bizonyos szorzással , és fordítva. $R^{0}$ $a*b=b*a$
A kétoldalú ideálok a gyűrűkben és az algebrákban ugyanazt a szerepet töltik be, mint a normál alcsoportok csoportokban :
- Minden homomorfizmus esetében a kernel egy ideál, és fordítva, minden ideál valamilyen homomorfizmus magja. $f\kettőspont A\-B-ig$ $\operátornév {Ker}f$
- Sőt, egy ideál egyedileg ( egy izomorfizmusig ) határozza meg annak a homomorfizmusnak a képét, amelynek a magja: izomorf egy hányadosgyűrűvel ( hányados algebra ) . $f(A)$ $A/I$
Az egész számok gyűrűjében minden ideál fő, és alakja , ahol . $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \))$ $n\in \mathbb{N} _{0}$
Az ideálok metszéspontja is ideál (gyakran, különösen a kommutatív algebrában, a metszéspontot a legkisebb közös többszörösnek nevezik ).

Ideáltípusok

A főideál egy elem által generált ideál .
Véglegesen generált ideál
Maximális ideál : Egy megfelelő I ideált akkor mondjuk maximálisnak , ha nincs olyan J ideális , hogy I megfelelő részhalmaza J -nek . A maximális ideál hányadosgyűrűje egy mező .
Moduláris ideális
Nilpotens Ideál
Elsődleges ideális
egyszerű ideál
A radikális ideál az az ideál, amely egybeesik a radikálisával .

Alaptervek

fő ideálok . Ha p tartozik R -hez , és k tetszőleges egész szám, akkor - a p - t tartalmazó minimális jobboldali ideál lesz, és - a minimális bal ideál R -ben . Ezeket rendre a p által generált fő jobb- és balideálnak nevezzük. Kommutatív esetben ezek az ideálok egybeesnek, és (p) -vel is jelöljük őket . Ha az R gyűrűtartalmazza az identitáselemet, akkor mivel , a p által generált főideálokfelírhatók,ill. Minden p elemettartalmazó ideál tartalmazza az általa generált főideált is. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\in R\}$ $Rp=\{rp:\,r\in R\}$

Elemek sokasága által generált ideál. Az R gyűrű egy tetszőleges baloldali ideálcsaládjának metszéspontja az R gyűrű bal ideálja . Ezért az R gyűrű bármely M részhalmazára létezik egy minimális bal ideál, amely tartalmazza azt, mégpedig az M halmazt tartalmazó összes bal ideál metszéspontja . (Ugyanez igaz a jobboldali és a kétoldali ideálokra is.) Egy azonos elemű R gyűrű esetén a minimális bal ideál a forma véges összegeinek halmaza , a minimális jobb ideál pedig a forma véges összegeinek halmaza. , a minimális kétoldali ideál pedig az M halmaz formaelemeinek véges összegeinek halmaza , r i , r ' i pedig az R gyűrű tetszőleges elemei . Ha a gyűrű nem tartalmaz egyet, akkor a minimális bal ideális a következő alakú lesz: , minimális jobb , minimális kétoldalas , ahol minden tetszőleges egész szám. Ezeket az ideálokat az M halmaz által generáltnak nevezzük . Kommutatív esetben mindegyik egybeesik, és a következőképpen jelöljük: (M) . A véges halmaz által generált ideálokat végesen generáltnak nevezzük . ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n))$ ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {s}m'_{s}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\lpont +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\lpont + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' '''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

ideálok összege. Ha egy tetszőleges ideálcsaládot adunk meg az R gyűrűben , akkor ezek összege az a minimális ideál, amely mindet tartalmazza. Ezeknek az ideáloknak az egyesülése hozza létre, és elemei az egyesülésükből származó elemek tetszőleges véges összegei (maga az ideálok uniója általában nem ideál). Az összeget tekintve egy gyűrű (vagy algebra) összes (bal-, jobb- vagy kétoldali) ideálja egy rácsot alkot . Minden ideál a főideálok összege. Gyakran, különösen a kommutatív algebrában, az összeget a legnagyobb közös osztónak nevezik). $I_{{\alpha }}$ $\sum I_{{\alpha ))$

Az ideálok metszéspontja (mint halmazok metszéspontja ) mindig ideál. Másrészt két eszmény egyesülése csak akkor ideális, ha az egyik a másik részhalmaza. Valóban, legyen és legyen két (baloldali) ideál, amelyek egyike sem a másik részhalmaza, hanem baloldali ideál. Ebben az esetben nyilvánvalóan a és -t tartalmazó legkisebb ideál , azaz . Van egy elem . Ekkor bármely , mivel ebben az esetben tehát, és ezért ellentmondás. ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak b}$ $a+b\in {\mathfrak a}$ $b\in {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\subset {\mathfrak a}$

Ideálok terméke. Az I és J ideál szorzata az ab szorzat által generált ideális IJ , ahol a az I ideális eleme , b pedig a J ideális eleme . Az ideálok végtelen szorzata nincs meghatározva.

Magánideálok. Kommutatív gyűrűben a nem nulla ideális I és az ideális J esetén a hányadosuk definiált, az ideális . Ezt az ideált az I ideál megsemmisítőjének nevezzük abban az esetben, ha J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}$

Az én ideál gyökérzete a halmaz. Az is ideális az A gyűrűhöz, ha csak az A gyűrű kommutatív. Abban az esetben, ha I=(0) , ezt az ideált az A gyűrű nilgyökének nevezzük . Elemei mind nilpotens elemei a gyűrűnek. Ha egy kommutatív gyűrűnek a nullán kívül nincs nilpotens eleme (nulla nilgyöke van), akkor gyöknek nevezzük. Az I - ideáltradikálisnak nevezzük, ha egybeesik a radikálisával. Ebben az esetben az R/I hányadosgyűrűneknullán kívül nincs nilpotens eleme. ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\létezik n\in {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\in {I}\}$

induktív határérték . Ha az ideálok családját (láncolatát) adjuk meg, lineárisan rendezett A halmazzal számozvaúgy, hogy az A - ból származóideálaz ideálban szerepel, akkor ezek egyesülése egy ideál - az ideállánc induktív határa. Ez az ideál egybeesik a láncból származó összes ideál összegével is. Az a tény, hogy az induktív határ mindig létezik, azt jelenti, hogy az R gyűrű összes ideáljának halmaza induktívan rendezett, és Zorn lemmája vonatkozik rá. Gyakran használják maximális ideálok megalkotására néhány további tulajdonsággal (lásd maximális ideál , elsődleges ideál , főideálgyűrű ). $\{I_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $\alpha <\beta$ $I_{{\alpha }}$ $I_{{\beta ))$

Egy ideál képe homomorfizmus alatt. Általában a homomorfizmus alatti ideálkép NEM ideál, de ha a homomorfizmus szürjektív, akkor az. Különösen, mivel a faktorizációs homomorfizmus mindig szürjektív, a faktorizáció minden ideált ideálba visz.

Egy ideál inverz képe homomorfizmus alatt . Ha egy gyűrű homomorfizmus , akkor a magja kétoldalú ideál. Általánosabban, ha I egy tetszőleges ideál a B gyűrűben , akkor annak teljes előképe ideál (bal, jobb vagy kétoldali, attól függően, hogy mi az I ideálja ). $f:\,A\-B$ $\operátornév {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\in A:\,f(a)\in I\}$

A faktorizációs homomorfizmus az ideálhoz képest. Ha I kétoldali ideál az R gyűrűben , akkor ezzel ekvivalenciarelációt definiálhatunk R - en a következő szabállyal: x ~ y akkor és csak akkor, ha az xy különbség I -hez tartozik . Ellenőrzik, hogy ha az összegben vagy a szorzatban az egyik operandust egy ekvivalensre cseréljük, az új eredmény egyenértékű lesz az eredetivel. Így az összeadás és szorzás műveletei az ekvivalenciaosztályok R/I halmazán definiálódnak , gyűrűvé alakítva azt (a kommutativitás és az egység jelenléte átkerül az R gyűrűből , ha van). Ezzel a gyűrűvel egyidejűleg egy faktorizációs homomorfizmust (kanonikus homomorfizmust) definiálunk, amely R - ből minden a elemhez hozzárendeli azt az ekvivalenciaosztályt, amelyben szerepel. Az a elem ekvivalenciaosztálya az a +i formájú elemek halmaza az I ideálisból származó összes i felett, ezért a + I -t jelöljük , de néha az [a] ekvivalenciaosztály általános jelölését is használják . Ezért . Ekkor az R/I gyűrűt az R gyűrű faktorgyűrűjének nevezzük az I ideál alapján . $\pi :\,R\to R/I$ $\pi (a)=[a]=a+I$

Történelem

Az ideálokat először Dedekind mutatta be 1876 -ban , a Számelméleti előadások harmadik kiadásában. Ez a Kummer által bevezetett ideális számok fogalmának általánosítása volt .

Később ezeket az ötleteket Hilbert és különösen Noether dolgozta ki .

Linkek

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam, - M . : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra, V. 1-2, - M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra, - M . : Mir, 1968.

Jegyzetek

↑ Ideális // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile . Proper Ideal a Wolfram MathWorld weboldalon .
↑ Előadás algebráról a Moszkvai Állami Egyetemen