Rács (algebra)

A rács (korábban a szerkezet kifejezést használták ) egy részben rendezett halmaz , amelyben minden kételemű részhalmaznak van pontos felső (sup) és pontos alsó (inf) határa is . Ez azt jelenti, hogy minden nem üres véges részhalmaz esetében léteznek ezek az oldalak.

Példák

egy adott halmaz összes részhalmazának halmaza, befogadás szerint rendezve; például: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\emptyset$
bármely lineárisan rendezett halmaz ; és ha , akkor ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
a vektortér összes alterének halmaza, befogadás szerint rendezve, ahol a metszéspont és a megfelelő alterek összege; $\inf$ $\fel$
az összes nemnegatív egész halmaza , oszthatóság szerint rendezve : ha egyesekre . Itt - a legkisebb közös többszöröse és - ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója ; $a\leqslant b$ $b=ac$ $c$ $\fel$ $\inf$
a [0, 1] szakaszon meghatározott valós függvények a feltétel szerint rendezve, ha mindenre . Itt $f\leqslant g$ $f(t)\leqslant g(t)$ $t\in [0,1]$

\sup(f,g)=u

, hol .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Algebrai definíció

A rács definiálható univerzális algebraként is, két bináris művelettel (ezeket és vagy + és ∙ jelöli), amelyek kielégítik a következő azonosságokat $\vee$ $\ék$

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$ ( idempotencia )
$a\vee b=b\vee a$
$a\wedge b=b\wedge a$ ( kommutativitás )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ ( asszociativitás )
$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\wedge b)=a$ ( felszívódás ).

A két definíció közötti kapcsolatot a következő képletekkel hozzuk létre:

a\vee b=\sup(a,b)

a\wedge b=\inf(a,b)

és vissza. Ezenkívül bármely elemre és a következő állítások egyenértékűek: $a$ $b$

a\leqslant b

;

a\wedge b=a

;

a\vee b=b

A rácsok mint univerzális algebrák és a részlegesen rendezett halmazok izomorfizmusának fogalma egybeesik. Azonban egy rács és egy rács tetszőleges izotóniás leképezése nem feltétlenül homomorfizmusa ezeknek a rácsoknak, mint univerzális algebráknak. $R$ $R'$

Rácsok

Az alrács a rácselemek egy részhalmaza, amely a és műveletek alatt zárva van . Példák részrácsokra a rács bármely egyelemű részhalmaza, ideális , szűrő , intervallum . $+$ $\cdot$

Egy részrácsot konvexnek nevezünk, ha abból és abból következik . Az összes fenti részrács konvex. $A$ $a,b\in A$ $a<c<b$ $c\in A$

A láncelemek bármely részhalmaza annak részrácsa (nem feltétlenül konvex). Egy adott rács összes részrácsa, a befogadási reláció szerint rendezve, rácsot alkot.

Történelem

A "rács" fogalmának megjelenése a XIX. század közepére utal. R. Dedekind egyértelműen megfogalmazta az 1894 -es és 1897 -es munkákban . A "rács" kifejezést, amelyet "szerkezetnek" fordítanak, Birkhoff vezette be 1933 -ban . Jelenleg az orosz terminológiában (a „struktúra” szó kétértelműsége miatt) felváltotta a „rács” fordítás. Történelmileg a rácselmélet szerepe azzal magyarázható, hogy a gyűrű ideálhalmazára és a csoport normál alcsoportjaira vonatkozó számos tény hasonlónak tűnik, és a Dedekind-rácsok elmélete keretében bizonyítható . Az algebra önálló ágaként ez az elmélet a XX. század 30-as éveiben alakult ki. A rácsok legfontosabb osztályai a Dedekind osztályokon kívül a teljes rácsok , a disztributív rácsok és a Boole-algebrák .

Példák rendezett halmazokra, amelyek nem rácsok

A diszkrét sorrend - bármely két különböző elem összehasonlíthatatlan - csak akkor lesz rács, ha csak egy elem van.
A 36 osztói 6 nélkül: {1, 2, 3, 12, 18, 36}. A 2. és 3. nem rendelkezik pontos felső felülettel, és a 12. és 18. nem rendelkezik pontos alsó felülettel.

Lásd még

Linkek

Az interneten ingyenesen elérhető monográfiák:

Burris, Stanley N., H. P. Sankappanavar . Univerzális algebra tanfolyam. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
Peter Jeepsen, Henry Rose . Varies of Lattices - Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Alapvető szövegek kevés matematikai kultúrával rendelkezőknek:

Thomas Donnellan . Rácselmélet. - Pergamon, 1968.
G. Gratzer . Rácselmélet: Első fogalmak és disztributív rácsok. – W. H. Freeman, 1971.

A szokásos bevezetők a témában, a fentieknél valamivel összetettebbek:

BA Davey, HA Priestley . Bevezetés a rácsokba és a rendbe. – Cambridge University Press , 2002.

Haladó monográfiák:

Garrett Birkhoff . Rácselmélet. — 3. kiadás. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. Amerikai Matematikai Társaság, 1967.
Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Algebrai rácselmélet. - Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

A szabad rácsokról:

R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation . Ingyenes rácsok. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42 Mathematical Association of America , 1985.
PT Johnstone . kő terek. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Irodalom

Birkhoff G. A szerkezetek elmélete / Per. angolról. - M., 1952;
Szkornyakov L. A. A szerkezetek elméletének elemei. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Rendezett készletek és rácsok. - Szaratov, 1981;
Gretzer G. Általános rácselmélet / Per. angolról. - M., 1982.