Legkisebb közös többszörös

Két egész szám legkisebb közös többszöröse ( ) az a legkisebb természetes szám , amely maradékkal és anélkül is osztható , azaz mindkettő többszöröse . A következő módok egyikén jelezve: $\mathrm {HOK}$ $m$ $n$ $m$ $n$

$\mathrm {HOK} (m,n)$ ;
$[m,n]$ ;
$\mathrm {LCM} (m,n)$ vagy (az angol legkisebb közös többszörösből ). $\mathrm {lcm} (m,n)$

Példa: . $\mathrm {HOK} (16,20)=80$

A többszörös számok legkisebb közös többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely osztható az egyes számokkal.

Az egyik leggyakoribb felhasználási mód a törtek közös nevezőre való redukálása . $\mathrm {HOK}$

Tulajdonságok

Kommutativitás : . $\mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)$
Aszociativitás : . $\mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)$
Kapcsolat a legnagyobb közös osztóval : $\mathrm {gcd} (a,b)$ $\operátornév {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operátornév {gcd}(a,b))).$
Különösen, ha és a koprímszámok , akkor $a$ $b$ $\operátornév {lcm}(a,b)=a\cdot b.$
$\operátornév {lcm}(a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operátornév {lcm}(a_{1}, a_{2},...,a_{k}))^{n}$ nál nél $n\geqslant 0.$
Két egész szám legkisebb közös többszöröse, és az összes többi közös többszörös osztója és . Ezenkívül a , közös többszöröseinek halmaza egybeesik a többszöröseinek halmazával . $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathrm {HOK} (m,n)$
Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel. Így: $\operátornév {lcm}(1,2,\lpontok ,n)$
- Csebisev függvény $\psi (x)=\ln \operátornév {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );$
- $\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2))\right)\sim e^{\sqrt { {\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},$ ami a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik ; $g(n)$
- $\operátornév {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)},$ ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik .

A NOC megtalálása

$\mathrm {HOK} (a,b)$ többféleképpen számolható.

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó , akkor a kapcsolatát használhatja a következővel: $\mathrm {HOK}$

\operátornév {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operátornév {gcd}(a,b)))

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre :

a=p_{1}^{{d_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{d_{k}}},

b=p_{1}^{{e_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{e_{k}}},

ahol a különböző prímek és a és nem negatív egész számok (ezek nullák lehetnek, ha a megfelelő prím nem szerepel a dekompozícióban). Ezután a következő képlettel számítjuk ki: $p_{1},\pontok ,p_{k}$ $d_{1},\pontok ,d_{k}$ $e_{1},\pontok ,e_{k}$ $\mathrm {HOK} (a,b)$

\operatorname {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_ {k},e_{k})}.

Más szóval, a bővítés tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább az egyik számkiterjesztésben szerepel , és a legnagyobbat ennek a tényezőnek a kitevőiből veszik. Példa további számokhoz: $\mathrm {HOK}$ $a,b$

56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1}

9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0}

21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.

\operátornév {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása is redukálható több egymást követő számításra két számból: $\mathrm {HOK}$

$\operátornév {lcm}(a,b,c)=\operátornév {lcm}(\operátornév {lcm}(a,b),c);$
$\operátornév {lcm}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operátornév {lcm}(\operátornév {lcm}(a_{1},a_{2},\lpontok, a_{{n-1}}),a_{n}).$

Lásd még

Legnagyobb közös osztó

Irodalom

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.

Linkek

Weisstein, Eric W. Least Common Multiple (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy orosz Brockhaus és Efron Új Britannica (online)