Tört (matematika)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	számláló
számláló	névadó		névadó
Két bejegyzés ugyanarra a törtre

A tört az aritmetikában olyan szám , amely az egy egy vagy több egyenlő részéből (részesedéséből) áll [1] .

A matematikában egy kissé általánosított definíciót használnak, amely megkülönbözteti a tört két típusát.

Az alak közönséges törtei , ahol egész , természetes . Az aritmetikai definícióval ellentétben egy ilyen törtnek mínusz jele lehet . ${\frac {m}{n))$ $m$ $n$
(nem feltétlenül tört) számok írása pozíciós számrendszerekben . A leghíresebbek a tizedes törtek , amelyek kényelmesek az emberek számára, és a bináris törtek , amelyeket számítógépes számításokhoz használnak [2] .

A matematikai jelölésben az alak törtrészét vagy az oszlop előtti (fölötti) számot számlálónak , az oszlop utáni (az oszlop alatti) számot nevezőnek nevezzük . Az első osztalékként , a második osztóként működik . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

Az általános algebrában a közönséges törtek alkotják a racionális számok mezőjét .

Törttípusok

Közönséges törtek

Közönséges (vagy egyszerű ) tört - racionális szám írása a formában, vagy ahol A vízszintes vagy perjel osztásjelet jelöl, ami hányadost eredményez. Az osztalékot a tört számlálójának , az osztót nevezőnek nevezzük . ${\frac {m}{n))$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Közönséges tört jelölés

A közönséges törtek nyomtatott formában történő írásának többféle módja van:

½,
1/2 vagy ( a perjelet "solidus"-nak nevezik [3] ), $^{1}\!/_{2}$
off formula: , ${\frac {1}{2))$
kisbetűs képlet: . ${\tfrac {1}{2))$

Helyes és helytelen törtek

Egy törtet helyesnek nevezünk, ha a számláló modulusa kisebb, mint a nevező modulusa. Azt a törtet, amelynek a számláló modulusa nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező modulusa, helytelen törtnek nevezzük, és racionális szám , modulo nagyobb vagy egyenlő, mint egy.

Például a , és a törtek helyesek, míg a , és a helytelenek. Bármely nullától eltérő egész szám megadható nem megfelelő törtként a nevezővel . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $egy$

Vegyes törtek

A nem negatív egész számként és megfelelő törtként felírt törtet vegyes törtnek nevezzük, és ennek a számnak és a törtnek az összegét értjük. Bármely racionális szám felírható vegyes törtként (negatív számok előtt mínuszjellel). A vegyes törttel ellentétben a csak a számlálót és a nevezőt tartalmazó törtet egyszerű törtnek nevezzük .

Például, . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Összetett frakciók

A többszintes vagy összetett tört több vízszintes (vagy ritkábban ferde) vonalat tartalmazó kifejezés:

{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}

vagy vagy .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

Általánosságban elmondható, hogy a törtjelet ilyen általánosított értelemben nem csak a törtekre, hanem az osztás kompakt jelölésére is használják, és nem csak egész számokra, hanem bármilyen valós és komplex számra, függvényre, polinomra és különféle osztási műveletek hasonló operandusaira is. .

Tizedesjegyek

A tizedes tört egy tört helyzeti rekordja, amelyben a nevezőt nem adjuk meg kifejezetten, hanem egész számként, tíz hatványaként értjük (pl. 100, 1000 stb.). Így néz ki (az aritmetikai kifejezéseken kívüli jelet általában kihagyják): $+$

\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots

A rekord tizedesvessző előtti része nem negatív tört esetén a szám egész része (tört), a tizedesvessző utáni pedig a tört rész . Bármely közönséges tört átalakítható tizedesvesszővé , amely ebben az esetben vagy véges számú tizedesjegyből áll, vagy periodikus tört .

Példa: A tizedes tört formátumban . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

A tizedesponttól jobbra végtelen számú számjegyet tartalmazó tizedesek végtelen sorozatot jelentenek. Például 1/3 = 0,333… a 3/10 + 3/100 + 3/1000 +… végtelen sorozata.

A tizedesjegyek exponenciális jelöléssel is kifejezhetők negatív kitevőkkel, például 6,023 × 10 −7 , ami 0,0000006023-at jelent (a -vel szorozva , vagy ezzel egyenértékűen osztva a tizedesvesszőt 7 hellyel balra tolja ). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

A tört egy másik fajtája a százalék ( latinul Pro Centum - "száz"), amelyet a % szimbólum képvisel , amelyben az implikált nevező mindig 100. Így az 51% 51/100-at jelent. A 100-nál nagyobb vagy nullánál kisebb százalékokat ugyanúgy kezeljük, például 311% egyenlő 311/100-zal és -27% -27/100-zal.

A ppm vagy ezrelék hasonló fogalma 1000 nevezőt jelent . A milliomodrészek általános megjelölése ( angol rész per millió - ppm), Például a 75 ppm azt jelenti, hogy az arány 75 / 1000000.

Nemzetközi mértékegységrendszer

Nemzetközi megjelölés	orosz	SI rendszer
ppm	ppm ; _ 1:10 6	mikro (mk)
ppb	milliárd −1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	billió −1 ; 1:10 12	pico (p)
ppquad	kvadrillió −1 ; 1:10 15	femto (f)

Általánosságban elmondható, hogy egy szám pozicionális jelölésére nem csak a decimális számrendszert használhatja, hanem másokat is (beleértve a konkrétakat is, például a fibonaccit ).

A tört értéke és a tört alapvető tulajdonsága

A tört csak egy szám reprezentációja. Ugyanaz a szám különböző törteknek felelhet meg, mind a közönséges, mind a tizedes törtnek.

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk azonos összeggel:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

akkor a tört értéke ugyanaz marad, bár a törtek különböznek. Például:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

Ezzel szemben, ha egy adott tört számlálójának és nevezőjének közös osztója van , akkor mindkét rész osztható vele; ezt a műveletet törtcsökkentésnek nevezzük . Példa:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- itt a tört számlálóját és nevezőjét közös osztóval csökkentettük .

négy

Irreducibilis törtnek nevezzük azt a tört, amelynek a számlálója és a nevezője másodlagos prím , azaz nincs közös osztója, kivéve $\pm 1.$

Tizedes tört esetén a jelölés szinte mindig egyértelmű, kivéve, ha a jelölés végtelen sorozattal végződik, amely vagy csak nullákból (ami elhagyható), vagy csak kilencből áll. Például:

0,\!999...=1

- egy tört két különböző bejegyzése egy számnak felel meg ;

2,\!13999...=2,\!14

Műveletek törtekkel

Ez a rész a közönséges törtekkel végzett műveletekkel foglalkozik. A tizedesjegyekkel végzett műveletekkel kapcsolatban lásd: Tizedes .

Közös nevezőre redukálás

A törtek összehasonlítása, összeadása és kivonása érdekében azokat át kell alakítani ( redukálni ) az azonos nevezőjű formára. Legyen két tört adott: és . Eljárás: ${\frac {a}{b))$ ${\frac {c}{d))$

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét: . $M=[b,d]$
Szorozzuk meg az első tört számlálóját és nevezőjét -vel . $m/b$
Szorozzuk meg a második tört számlálóját és nevezőjét -vel . $m/d$

Ezt követően mindkét tört nevezője azonos (egyenlő ). A legkisebb közös többszörös helyett egyszerű esetekben bármely más közös többszörösnek vehetjük, például a nevezők szorzatát. Példaért lásd az alábbi Összehasonlítás részt . $M$ $M$

Összehasonlítás

Két közönséges tört összehasonlításához csökkentse azokat egy közös nevezőre, és hasonlítsa össze a kapott törtek számlálóit. A nagyobb számlálóval rendelkező tört nagyobb lesz.

Példa. Hasonlítsa össze és . . A törteket a nevezőbe visszük . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $húsz$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Következésképpen, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Összeadás és kivonás

Két közös tört hozzáadásához közös nevezőre kell hoznia őket. Ezután adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

1. példa : + = + =

\quad {\frac {1}{2))

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

A nevezők LCM-je (itt és ) egyenlő . A törtet a nevezőbe visszük , ehhez a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni -val . Kiderült . A törtet ugyanarra a nevezőre hozzuk, ehhez a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni -val . Kiderült . A törtek különbségének kiszámításához ezeket is közös nevezőre kell csökkenteni, majd ki kell vonni a számlálókat, miközben a nevezőt változatlanul kell hagyni: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

A nevezők LCM-je (itt és ) egyenlő . A törtet a nevezőbe visszük , ehhez meg kell szorozni a számlálót és a nevezőt -vel . kapunk . $2$ $négy$ $négy$ ${\frac {1}{2))$ $négy$ $2$ ${\frac {2}{4))$

2. példa :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Szorzás és osztás

Két gyakori tört szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

Különösen egy tört természetes számmal való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

Általában előfordulhat, hogy a kapott tört számlálója és nevezője nem másodszámú, és a törtet csökkenteni kell, például:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Határozzuk meg egy tört reciprokát törtként (itt ). Ekkor a szorzás definíciója szerint egy tört és reciprok szorzata 1: ${\frac {a}{b))$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

Egy közönséges tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az első törtet a második reciprokával:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

Például:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 }{2}}.

Hatványozás és gyökérkivonás

Egy tört hatványra emeléséhez a számlálót és a nevezőt ugyanarra a hatványra kell emelni:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Példa:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{ 27}}

Gyök törtből való kinyeréséhez ki kell bontania a megfelelő gyökeret a számlálóból és a nevezőből:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Példa:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Konvertálás a különböző felvételi formátumok között

Ha tört tizedesjegyre szeretne konvertálni, ossza el a számlálót a nevezővel. Az eredmény lehet véges számú tizedesjegy, de lehet végtelen periodikus tört is . Példák:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- zárójelbe szokták írni a végtelenül ismétlődő időszakot.

A véges számú tizedesjegyű tizedes törtrészének közönséges törté konvertálásához a tört részét természetes számként kell ábrázolni, osztva 10 megfelelő hatványával. Ezután az előjeles egész részt hozzáadjuk az eredményhez, vegyes törtet képezve. Példa:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

A végtelen tizedes tört általában nem ábrázolható pontosan közönséges törtként. Ez alól kivételt képeznek a periodikus tizedes törtek , amelyeknél mindig lehetséges az ilyen ábrázolás [4] .

Egy példa (lásd még : Ismétlődő tizedes tört átalakítása köztörtté ). Váltsunk át egy periodikus törtet közönséges törtté. Jelölje , majd honnan: vagy: Ennek eredményeként kapjuk: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\pontok$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

A kifejezés története és etimológiája

Az orosz fraction kifejezés más nyelvek megfelelőihez hasonlóan a latból származik. fractura , ami viszont az azonos jelentésű arab kifejezés fordítása: tör, összetör . A közönséges törtek elméletének alapjait görög és indiai matematikusok fektették le. Az arabokon keresztül a latinra fordított kifejezés átkerült Európába, Fibonacci (1202) már említi. A számláló és a nevező szavakat Maxim Planud görög matematikus vezette be .

A törteket az ókori Egyiptomban számították ki . Az egyiptomi törtekről a mai napig fennmaradtak matematikai források : Rinda Matematikai Papirusz (Kr. e. 1650 körül) [5] , Egyiptomi Matematikai Bőrtekercs (Kr. e. XVII. század) [6] , Moszkvai Matematikai Papirusz (Kr. e. 1850 körül), fatábla Akhmim (Kr. e. 1950 körül) [7] .

Kínában a közönséges törtek megtalálhatók a „ Matematika kilenc könyvben ” című műben (Kr. e. X-II. század), amelyet a Kr.e. II. században szerkesztettek. e. pénzügyi tisztviselő, Zhang Cang. A tizedes törtekkel először Kínában találkoztak az i.sz. 3. századból. e. a számlálótáblán történő számolásnál ( suanpan ). Az írott forrásokban a tizedes törteket egy ideig a hagyományos (nem pozicionális) formátumban ábrázolták, de fokozatosan a helyrendszer váltotta fel a hagyományosat [8] . A perzsa matematikus és csillagász, Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) "Az aritmetika kulcsa" című értekezésében (1427) a tizedes törtek feltalálójának vallotta magát, bár Al-Uklidisi írásaiban megtalálhatók. , aki öt évszázaddal korábban élt [9] .

Az európai matematikusok eleinte csak közönséges törtekkel, a csillagászatban pedig hatszázados törtekkel operáltak . A közönséges törtek modern elnevezése az ókori Indiából származik - először az arabok , majd a XII - XVI. században az európaiak kölcsönözték. Kezdetben a törtek nem használtak törtsávot: a számokat így írták: A törtsáv használata csak körülbelül 300 évvel ezelőtt vált állandóvá. Európában az első tudós, aki alkalmazta és terjesztette az indiai számlálórendszert (az úgynevezett "arab számokat"), beleértve a törtírás módszerét is, egy olasz kereskedő, utazó, egy városi jegyző fia, Fibonacci (Pisai Leonardo) [ 10] . A 16. században alakult ki a közönséges törtek és a velük végzett cselekvések teljes értékű elmélete ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

Európában az első tizedes törteket Immanuel Bonfils vezette be 1350 körül, de csak Simon Stevin A tizedik (1585) című művének megjelenése után terjedtek el. Stevin összetett módon írt tizedesjegyeket: például a 42,53 számot vagy 42 ⓪ 5 ① 3 ② , ahol a 0 egy körben vagy egy vonal felett egy egész részt, az 1 a tizedeket, a 2 a századokat és így tovább. A vesszőt a 17. század óta használják az egész rész elválasztására [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

Oroszországban a törteket részvényeknek nevezték . Az első orosz matematikai tankönyvekben - a 17. században - törtszámoknak nevezték a törteket [10] . A tört kifejezést a latin fractura analógjaként Magnyitszkij aritmetikája (1703) használja a közönséges és a tizedes törtekre egyaránt.

Általánosítások

Privát gyűrű
A racionális függvény polinomokból álló tört .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Matematikai enciklopédia, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikai kézikönyv mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak . - szerk. 13. — M. : Nauka, 1985. — S. 130. — 544 p.
↑ ParaType kézikönyv .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ A Rhind matematikai papirusz .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd, 1997 .

Irodalom

Oroszul:

Aritmetikai tört // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - Moszkva: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematika: Proc. 5 cellához. átl. iskola / szerk. N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 4. kiadás - Cheboksary: Chuv. könyv. kiadó, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Matematika kézikönyve középiskolák számára. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 p.

Angolul:

Berggren, J. Lennart. Matematika a középkori iszlámban // Egyiptom, Mezopotámia, Kína, India és az iszlám matematikája : Forráskönyv . - Princeton University Press , 2007. - 518. o . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. A kínai matematika története. Springer (angol) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Egy további töredék a "Hatnub" Stela-ból // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - január ( 20. évf. 1. szám ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshall. Emlékiratok az Amerikai Filozófiai Társaságról 232 // Ókori egyiptomi tudomány: Forráskönyv. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Linkek

A Rhind matematikai papirusz . brit múzeum. Hozzáférés időpontja: 2019. január 13.
Törtsáv (Fraction bar, Solidus) . ParaType kézikönyv . (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Egy szám töredékei (egy egész részei)
változó érték	Százalék ( % ) Ppm ( ‰ ) Tízezredik ( ‱ ) Parts per millió ( ppm, ppm ) Milliárd rész ( ppb, ppb ) billió töredék ( ppt, billió −1 )
fix érték	1/4 (negyed) 1/3 (harmadik) 1/2 (fél) 1/1 (összes, egész)
Lásd még	SI előtagok egész rész Decimális Tört rész Tizedes elválasztó Töredék Rész Megosztás (zene) Megosztás (egység)