Oszthatóság

Az oszthatóság az osztásművelethez kapcsolódó aritmetikai és számelméleti alapfogalmak egyike . Halmazelméleti szempontból az egész számok oszthatósága az egész számok halmazán meghatározott reláció .

Definíció

Ha valamilyen egész és egy egész számra létezik ilyen egész szám , akkor azt mondják, hogy a szám osztható vele, vagy osztható $a$ $b$ $q$ $bq=a,$ $a$ $b$ $b$ $a.$

Ebben az esetben a számot a szám osztójának nevezzük , az osztalék a szám többszöröse , a számot pedig az osztó hányadosának nevezzük . $b$ $a$ $a$ $b$ $q$ $a$ $b$

Bár az oszthatóság tulajdonsága az egész számok teljes halmazán definiálva van , általában csak a természetes számok oszthatóságát veszik figyelembe . Konkrétan egy természetes szám osztóinak számának függvénye csak a pozitív osztóit számolja.

Jelölés

$a\,\vdots \,b$ azt jelenti , hogy [1] , ami osztható -vel , vagy hogy a szám többszöröse . $a$ $b$ $a$ $b$

$b/közép a$ azt jelenti, hogy osztja , vagy ami ugyanaz: - osztó . $b$ $a$ $b$ $a$

Kapcsolódó definíciók

Minden 1 -nél nagyobb természetes számnak legalább két természetes osztója van: 1 és maga a szám. Ebben az esetben azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztója van, prímnek , a kettőnél több osztóval rendelkezőket pedig összetettnek nevezzük . Az egységnek pontosan egy osztója van, és nem prím vagy összetett.
Minden nál nagyobb természetes számnak van legalább egy prímosztója . $egy$
Egy szám megfelelő osztója minden osztó, amely nem a szám. A prímszámoknak pontosan egy helyes osztójuk van, egy.
A triviális osztók fogalmát is használják : ez maga a szám és az egység. Így a prímszám olyan számként definiálható, amelynek nincs más osztója, mint triviális.
Függetlenül attól, hogy egy egész szám osztható-e egy egész számmal , egy szám mindig osztható maradékkal , azaz a következőképpen ábrázolható: $a$ $b\neq 0$ $a$ $b$ $a=b\,q+r,$ ahol . $0\leqslant r<|b|$

Ebben az összefüggésben a számot hiányos hányadosnak nevezzük , a szám pedig a -vel való osztás maradéka . Mind a hányados, mind a maradék egyedileg definiált.

q

r

a

b

Egy szám akkor és csak akkor osztható egyenlően, ha a vele való osztás maradéka nulla.

a

b

a

b

Bármely szám, amely mindkettőt osztja, és közös osztójuknak nevezzük ; ezek közül a számok közül a legnagyobbat a legnagyobb közös osztónak nevezzük . Minden egész számpárnak van legalább két közös osztója: és . Ha nincs más közös osztó, akkor ezeket a számokat viszonylag prímnek nevezzük . $a$ $b$ $+1$ $-egy$
Két egész szám és azt mondják, hogy egyenlően osztható egy egész számmal , ha vagy és , és osztható -val , vagy egyikkel sem , és nem osztható vele. $a$ $b$ $m$ $a$ $b$ $m$ $a$ $b$
Egy számot akkor nevezünk egy szám többszörösének , ha maradék nélkül osztható vele . Ha egy szám maradék nélkül osztható a és számokkal , akkor közös többszörösüknek nevezzük . A legkisebb ilyen természetes számot az és a számok legkisebb közös többszörösének nevezzük . $a$ $b$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$

Tulajdonságok

Megjegyzés: Ebben a szakaszban minden képlet azt feltételezi, hogy egész szám.

ABC

Bármely egész szám nulla osztó , a hányados pedig nulla:

\quad0\,\vdots\,a.

Bármely egész szám osztható eggyel:

\quad a\,\vdots\,1.

Csak a nulla osztható nullával:

a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0

és a hányados ebben az esetben nincs meghatározva.

Az egyik csak eggyel osztható:

1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.

Bármely egész számhoz létezik egy egész szám , amelyhez $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Ha és akkor Ebből az is következik, hogy ha és akkor $a\,\vdots \,b$ $\left|b\right|>\left|a\right|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vdots \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

Ahhoz, hogy szükséges és elégséges legyen $a\,\vdots \,b$ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$

Ha akkor $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

A természetes számok oszthatósági relációja nem szigorú rendű reláció, és különösen:
- reflexszerűen , azaz bármely egész szám osztható önmagával: $\quad a\,\vdots \,a.$
- tranzitív , azaz ha és akkor $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antiszimmetrikus , azaz ha és akkor $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

Az egész rendszerben e három tulajdonság közül csak az első kettő áll fenn; például és de . Vagyis az egész számok oszthatósági aránya csak előrendelés .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Osztók száma

Egy természetes szám pozitív osztóinak számát általában szorzófüggvénynek nevezik , amelyre igaz az aszimptotikus Dirichlet-képlet : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\jobb).

Itt van az Euler-Mascheroni állandó , és Dirichlet esetében ez az eredmény többszörösen javított, és jelenleg a legismertebb eredmény (2003-ban Huxley szerezte meg). Azonban a legkisebb értéke , amelynél ez a képlet igaz marad, nem ismert (bebizonyosodott, hogy nem kisebb, mint ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

Ebben az esetben egy nagy n szám átlagos osztója átlagosan a -val nő , amit A. Karatsuba [5] fedezett fel . M. Koroljev számítógépes becslései szerint . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067$

Általánosítások

Az oszthatóság fogalma tetszőleges gyűrűkre általánosítható , mint például Gauss egész számokra vagy polinomgyűrűre .

Lásd még

Linkek

Oszthatósági videó

Jegyzetek

↑ Vorobjov, 1988 , p. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Számelmélet . - M . : Oktatás, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analitikus számelmélet // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet osztóprobléma (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ V. és Arnold. Galois-mezők dinamikája, statisztikája és projektív geometriája. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Irodalom

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai. M.-L.: Áll. szerk. műszaki és elméleti irodalom, 1952, 180 p.
Vorobjov N. N. Az oszthatóság jelei . - 4. kiadás - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Oszthatóság // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - S. 95 . — 352 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Britannica (online)

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám