Szuper redundáns szám

Szuperabundáns szám ( SA az angol  superabundant szóból ) – olyan természetes szám , amely mindenre vonatkozik

ahol  az osztófüggvény (azaz a szám összes pozitív osztójának összege , beleértve a ).

Az első néhány szuperredundáns szám [1] : 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , …. Például az 5-ös szám nem szuperredundáns szám, mert 1, 2, 3, 4 és 5 esetén a szigma 1, 3, 4, 7, 6 és 7/4 > 6/5.

Meghatározták a többletlétszámot[ pontosítás ] Leonidas Alaoglu és Pal Erdős [2] . Ramanujan 1915-ös „Supercomponent Numbers” című cikkének körülbelül 30 oldalát lezárták, amelyek Alaoglu és Erdős számára ismeretlenek voltak.[ adja meg ] . Ezeket az oldalakat végül a Ramanujan's Journal 1 (1997), 119-153.[ adja meg ] . A cikk 59. szakaszában Ramanujan általánosított szuperkompozit számokat határoz meg , amelyek szuperredundáns számokat is tartalmaznak.

Tulajdonságok

Leonidas Alaoglu és Pal Erdős ( 1944 [2] ) bebizonyította, hogy ha szuperredundáns, akkor vannak olyanok ,

ahol:

Vagyis bebizonyították, hogy ha szuperredundáns, akkor a prímtényezősségnek nem növekvő kitevői vannak (egy nagyobb prím kitevője soha nem nagyobb, mint egy kisebb prímé), és hogy minden prímszám -ig a  tényező . Ebben az esetben minden szuperredundáns szám a -edik prímszám páros egész számú többszöröse .

Valójában az utolsó kitevő 1, kivéve ha 4 vagy 36.

A szuperredundáns számok szorosan összefüggenek a szuperkompozit számokkal. Nem minden szuperbőséges szám szuperkompozit szám. Valójában csak 449 szuperredundáns és szuperkompozit szám egyezik ( A166981 sorozat az OEIS -ben ). Például a 7560 szuperkompozit, de nem szuperredundáns. Ezzel szemben az 1163962800 szuperredundáns, de nem szuperkompozit.

Alaoglu és Erdős észrevette, hogy minden redundáns szám nagyon redundáns .

Nem minden szuperredundáns szám harshad szám . Az első kivétel a 105. SA-szám, 149602080797769600. A számjegyek összege 81, de a 81 nem osztható egyenlően ezzel az SA-számmal.

A szuperbőséges számok a Riemann-hipotézis és a Robin-tétel kapcsán is érdekesek , mivel a Riemann-hipotézis ekvivalens a következő állítással:

minden nagyobb, mint a legnagyobb ismert kivétel, az 5040 szuperredundáns szám. Ha ennek az egyenlőtlenségnek van egy nagyobb ellenpéldája, amely a Riemann-hipotézist hamisnak bizonyítja, akkor a legkisebb ilyen ellenpélda szuperredundáns szám kell, hogy legyen [3] .

Nem minden szuperredundáns szám kolosszálisan redundáns .

Általánosítás

Az általánosított -szuperredundáns számok  olyan számok, amelyek mindegyikére , ahol az osztók -edik hatványának összege .

Az 1-szuperredundáns számok szuperredundáns számok. A 0-szuperredundáns számok szuperösszetett számok.

Például az általánosított 2-szuperredundáns számok a következők: [4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Jegyzetek

1. ↑ OEIS szekvencia A004394 _
2. ↑ 1 2 Alaoglu, Leonidas & Erdős, Pal (1944), A szuperkomponens és hasonló számokról , Proceedings of the American Mathematical Society ( American Mathematical Society ). – T. 56 (3): 448–469 , DOI 10.2307/1990319 [ pontosítás ]
3. ↑ Akbari – Friggstad, 2009 .
4. ↑ OEIS szekvencia A208767 _

Irodalom

• Keith Briggs. A bőséges számok és a Riemann-hipotézis // Kísérleti matematika . - 2006. - T. 15 . – S. 251–256 .
• Amir Akbary, Zachary Friggstad. Szuperbőséges számok és a Riemann-hipotézis  // American Mathematical Monthly . - 2009. - T. 116 , sz. 3 . – S. 273–275 . - doi : 10.4169/193009709X470128 .

Linkek

• MathWorld: Szuper redundáns szám