Leonardo számok

A Leonardo számok egy függőséggel megadott számsorozat:

L(n):={\begin{esetek}1&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n -2)+1&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}

Edsger Dijkstra [1] sima rendezési algoritmusa részeként használta őket , és tanulmányozta néhány jellemzőjüket. [2]

Kapcsolat Fibonacci számokkal

A Leonardo-számok egy képlet révén kapcsolódnak a Fibonacci-számokhoz . $L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$

Ez a képlet közvetlenül magában foglal egy kifejezést a Leonardo-számokra, hasonlóan Binet Fibonacci-számokra vonatkozó képletéhez:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )))-1= {\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

ahol az aranymetszés , és ezen kívül és a másodfokú egyenlet gyökerei $\varphi =(1+{\sqrt 5})/2$ $\varphi$ $1-\varphi =(1-{\sqrt 5})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

A Leonardo számsorozat első húsz tagja a következő:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 — A001595 szekvencia az OEIS -ben

a szomszédos Leonardo-számok aránya, valamint a szomszédos fibonacci-számok aránya az aranymetszés felé hajlik

Jegyzetek

↑ EWD797
↑ EWD796a