Fibonacci Prime – Wiferich

Megoldatlan problémák a matematikában : Vannak-e Fibonacci-Wieferich prímszámok? Ha igen, van belőlük véges számú?

A Fibonacci-Viferich prím (más néven Fal-Sun-Sun prím , eng. Fal-Sun-Sun ) egy bizonyos típusú prímszám , amely feltételezhetően létezik , és a Fibonacci-számokhoz kapcsolódik . 2013-ig még nem találtak ilyen számot.

Definíció

Egy prímszámot Fibonacci-Wiferich prímnek nevezünk, ha elosztja a Fibonacci-számot , ahol a Legendre szimbólum a következőképpen definiálható: $p>5$ $p^{2}$ ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)))$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}} \\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

Egyenértékű definíció: egy prímet Fibonacci-Wieferich prímnek nevezünk, ha , ahol a -edik Lucas-szám . [1] :42 $p$ ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $L_{p}$ $p$

Létezés

Van egy hipotézis, hogy végtelenül sok Fibonacci-Wiferich prím létezik [2] , azonban 2013-ig még nem fedeztek fel ilyen prímszámot.

2007 -ben Richard J. McIntosh és Eric L. Roettger kimutatta, hogy ha léteznek, nagyobbnak kell lenniük, mint 2⋅10 14 [3] , 2010-ben François Dorais ( François G. Dorais ) és Dominic Klyve 9,7⋅-re hozta a határt. 10 14 [4] . 2011 decemberében a PrimeGrid projektben indult a keresés [5] , 2012 decemberében a PrimeGrid elérte az 1,5⋅10 16 [6] határát . 2014 áprilisában a PrimeGrid elérte a 2,8⋅10 16 határát, és folytatja a keresést [6] .

Történelem

A Fal-Nap-Nap prímszámok Donald Wall [ 7 ] , Sun Zhìhóng és Sūn Zhìwěi nevéhez fűződik, akik 1992-ben kimutatták, hogy ha Fermat utolsó tételének első esete valamely prím esetében hamis, akkor Fibonacci-Wieferich prímnek kell lennie [8 ] . Így a Fermat utolsó tételének Andrew Wiles általi bizonyítása előtt a Fibonacci-Wieferich prímszámok keresésének célja egy lehetséges ellenpélda keresése volt . $p,$ $p$

Általánosítások

Tribonacci -Wieferich prím ( eng. Tribonacci-Wieferich prím ) [9] egy prímszám , amely kielégíti a feltételt

h(p)=h(p^{2}),

ahol az a legkisebb pozitív egész szám, amelyre a feltétel vonatkozik $h(m)$

\left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{ \pmod{m}},

$T_{n}$ a tribonacci szám n számmal , definíció szerint

T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},

T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.

Egyszerű tribonacci - Wieferich, 10 11 -nél kevesebb nem létezik [9] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vladica, A. A Fibonacci-hatalmakról (határozatlan) // Univ. Beograd Publ. Elektrotechnika. Fak. Ser. Mat.. - 2006. - T. 17 . - S. 38-44 . - doi : 10.2298/PETF0617038A .
↑ Klaška, Jiří (2007), Rövid megjegyzés a Fibonacci−Wieferich prímekhez , Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis T. 15 (1): 21–25 , < http://dml.cz/dmlcz/137492 > Archivált : 2011. július 18. Wayback gép
↑ McIntosh, RJ; Roettger, EL Fibonacci–Wieferich és Wolstenholme prímek keresése // Számítási matematika : folyóirat. - 2007. - Vol. 76 , sz. 260 . - P. 2087-2094 . - doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 .
↑ Dorais, FG; Klyve, DW Near Wieferich prímek 6,7 × 10 15 -ig (eng.) : napló. - 2010. Archiválva : 2011. augusztus 6.
↑ PrimeGrid bejelentése a Wieferich és a Wall-Sun-Sun keresésekről Archiválva : 2013. március 14. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Wall-Sun-Sun Prime Search projekt archiválva 2011. szeptember 26-án a PrimeGrid Wayback Machine -jén
↑ Wall, D. D. (1960), Fibonacci Series Modulo m , American Mathematical Monthly 67 (6): 525–532 , DOI 10.2307/2309169
↑ Sun, Zhi-Hong & Sun, Zhi-Wei (1992), Fibonacci-számok és Fermat utolsó tétele , Acta Arithmetica 60. kötet (4): 371–388 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki /aa/aa60/aa6046.pdf > Archiválva 2020. szeptember 30-án a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Klaška, Jiří. Tribonacci–Wieferich prímszámok keresése (neopr.) // Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. - 2008. - T. 16 , 1. sz . - S. 15-20 .

Irodalom

Crandall, Richard E. & Pomerance, Carl (2001), Prímszámok: Számítási perspektíva , Springer, p. 29, ISBN 0-387-94777-9

Linkek

Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fal-Sun-Sun prime at the Prime Pages .
Weisstein, Eric W. Wall–Sun–Sun prime (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Richard McIntosh, A Fal-Nap-Nap csúcspontok keresésének állapota (2003. október)