Ellenpélda

Az ellenpélda  olyan példa, amely megcáfolja valamely állítás igazságát.

Az ellenpélda megalkotása a hipotézisek megcáfolásának általános módja . Ha van olyan állítás, mint „Az M halmaz bármely X -ére igaz az A tulajdonság ”, akkor ennek az állításnak az ellenpélda: „ Van egy X 0 objektum az M halmazból , amelyre az A tulajdonság nem teljesül”.

Gyakran nagyon nehéz kézzel ellenpéldát találni. Ilyen esetekben használhat számítógépet . Az ellenpéldát kereső program egyszerűen át tudja ismételni az M halmaz elemeit, és ellenőrizni tudja, hogy az A tulajdonság teljesül-e . Bonyolultabb, de hatékonyabb megközelítés az ellenpélda „darabonkénti” felépítése. Ugyanakkor a következő „rész” kiválasztásakor azonnal elvetik a lehetőségeket, amelyek nyilvánvalóan nem vezetnek a vizsgált állítás megcáfolásához. Ez lehetővé teszi a munka jelentős felgyorsítását, gyakran nagyságrendekkel.

Emlékeztetni kell arra, hogy az ellenpélda hiánya nem bizonyítja a sejtést. Ilyen bizonyítást csak akkor lehet megszerkeszteni, ha a vizsgált halmaz véges. Ebben az esetben elegendő minden elemét felsorolni, és ha nincs közöttük ellenpélda, akkor az állítás bizonyítást nyer.

Klasszikus ellenpéldák a matematikában

• A Dirichlet-függvény  egy példa egy olyan függvényre , amely minden pontban nem folytonos .
• A Weierstrass függvény  egy mindenütt folytonos , de sehol nem differenciálható függvény példa .
• A Cantor-függvény  egy példa a folytonos monoton függvényre , amely nem állandó , de deriváltja szinte minden pontban nulla .

Ellenpéldák más tudományágakban

• Y. Stoyanov "Ellenpéldák a valószínűségelméletben" című könyvében a következő kijelentés szerepel: "Nincs olyan szó az orosz nyelvben, amely öt egymás utáni mássalhangzót tartalmazna". Ellenpélda erre a " contrpr imer" szó.

Irodalom

• Gelbaum B, Olmstead J. Ellenpéldák az elemzésben . M.: Mir, 1967.
• Lakatos, I. Bizonyítások és cáfolatok: a tételek bizonyítása . Moszkva: Nauka, 1967.
• Medvegyev F. A.  Esszék a valós változó függvényei elméletének történetéről . Moszkva: Nauka, 1975.
• Sekey G. Paradoxonok a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában . M.: Mir, 1980.
• Stoyanov J. Ellenpéldák a valószínűségszámításban . M.: Factorial, 1999.
• Shchetnikov A. I. , Shchetnikova A. V. Az ellenpéldák szerepe a matematikai elemzés alapfogalmainak kialakításában. - Novoszibirszk: ANT, 1999.
• Romano JP, Siegel AF Ellenpéldák a valószínűségszámításban és a statisztikákban . Chapman & Hall , NY, 1986.
• Steen LA, Seebach JA (Jr.). Ellenpéldák a topológiában . Springer , NY, 1978.
• Wise GL, Hall EB Ellenpéldák a valószínűségi és valós elemzésben . Oxford UP, 1993.