Függvény derivált

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek . Ez a cikk a valós függvények deriváltjait írja le. Az összetett függvények deriváltjáért lásd: Összetett elemzés .

A függvény deriváltja egy olyan fogalom a differenciálszámításban , amely egy függvény változási sebességét jellemzi egy adott pontban. Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa , amikor az argumentum növekménye nullára hajlik , ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek véges deriváltja van (egy adott ponton), differenciálhatónak nevezzük (egy adott pontban).

A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük . Fordított folyamat - az antiderivatív megtalálása - integráció .

Történelem

A klasszikus differenciálszámításban a derivált leggyakrabban a határ fogalmán keresztül definiálható , azonban történetileg a határok elmélete később jelent meg, mint a differenciálszámítás. Történelmileg a származékot kinematikailag (sebességként) vagy geometriailag (lényegében az érintő meredeksége határozta meg, különféle speciális megfogalmazásokban) vezették be. Newton a derivált fluxusnak nevezte, ami a függvényszimbólum feletti pontot jelöli, a Leibniz-iskola a differenciált preferálta alapfogalomként [1] .

Az orosz kifejezést "származékos függvény" formában először V. I. Viskovatov használta , aki lefordította oroszra a megfelelő francia dérivée kifejezést , amelyet Lagrange francia matematikus [2] használt .

Definíció

Legyen egy függvény definiálva egy pont valamelyik szomszédságában Egy függvény deriváltja akkora szám , hogy a szomszédságban lévő függvény a következőképpen ábrázolható $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $A$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

ha létezik. $A$

Egy függvény deriváltjának definíciója a határértékkel

Legyen egy függvény definiálva a pont valamelyik szomszédságában . A függvény deriváltját a pontban határértéknek nevezzük , ha létezik, $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Hagyományos jelölés egy függvény deriváltjára egy pontban $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{{x=x_{0}}}={\pont {y}}(x_{0}).

Megjegyzendő, hogy az utóbbi általában az idő szerinti deriváltot jelöli (az elméleti mechanikában és fizikában gyakran történetileg is).

Származékok táblázata

Hatványfüggvények származékai	Trigonometrikus függvények származékai	Inverz trigonometrikus függvények deriváltjai	Hiperbolikus függvények származékai
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operátornév {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\tanh x)'=\operátornév {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln a}}$	$\left(\operátornév {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\coth x)'=-\operátornév {csch} x$
	$\left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operátornév {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n))))$

Differenciálhatóság

Egy függvény deriváltja egy pontban , lévén határérték, lehet, hogy nem létezik, vagy létezik, és lehet véges vagy végtelen. Egy függvény akkor és csak akkor differenciálható egy pontban , ha a deriváltja abban a pontban létezik, és véges: $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $f$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

Egy szomszédságban differenciálható függvényre a következő ábrázolás érvényes: $x_{0}$ $f$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

nál nél

x\–x_{0}.

Jegyzetek

Nevezzük meg a függvény argumentumának növekményét , és vagy a függvény értékének növekedését az akkor pontban $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Legyen a függvénynek véges deriváltja minden pontban. Ekkor a derivált függvény definiálva van $f\kettőspont (a,b)\ to \mathbb{R}$ $x_{0}\in(a,b).$ $f'\colon (a,b)\to \mathbb{R} .$
Az a függvény, amelynek egy pontban deriváltja van, abban a pontban folytonos . Ennek a fordítottja nem mindig igaz.
Ha a derivált függvény maga is folytonos, akkor a függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezzük , és felírjuk: $f$ $f\in C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

A származék geometriai és fizikai jelentése

Érintő egyenes meredekségének érintője

Ha egy függvénynek véges deriváltja van egy pontban, akkor egy szomszédságban lineáris függvénnyel közelíthető $f\colon U(x_{0})\ to \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

A függvényt a pont érintőjének nevezzük. A szám az érintővonal meredeksége ( az érintő meredeksége ) vagy az érintővonal meredeksége. $f_{l}$ $f$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

A függvény változási sebessége

Legyen az egyenes vonalú mozgás törvénye . Ekkor a pillanatnyi mozgási sebességet fejezi ki . Az új függvénynek deriváltja is van. Ez az ún. a második derivált, jelölése , és a függvény a pillanatnyi gyorsulást fejezi ki $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ $s''(t)$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

Általában egy függvény deriváltja egy pontban a függvény változási sebességét fejezi ki egy pontban , azaz a függéssel leírt folyamat sebességét $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Magasabb megbízások származékai

Egy tetszőleges sorrend deriváltjának fogalmát rekurzívan adjuk meg . Hisszük

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Ha a függvény differenciálható -ben , akkor az elsőrendű deriváltot a reláció határozza meg $f$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Legyen most a harmadrendű derivált a pont valamelyik szomszédságában definiálva és differenciálható. Akkor $n$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\jobbra)'(x_{0}).

A második származék különösen a származék származéka:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Ha egy függvénynek van parciális deriváltja valamely D tartomány egyik változójára vonatkozóan , akkor a megnevezett deriváltnak, mivel maga is függvénye , lehet részleges deriváltja ugyanarra vagy bármely más változóra vonatkozóan egy bizonyos ponton . Az eredeti függvény esetében ezek a deriváltok másodrendű parciális deriváltak (vagy másodrendű parciális származékok). $u=f(x,y,z)$ $x,y,z,$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $u=f(x,y,z)$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

vagy

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\részleges x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

vagy

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\partial x\partial y}}

A különböző változókra vonatkozó másod- vagy magasabb rendű parciális deriváltot kevert parciális deriváltnak nevezzük . Például,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

A függvények azon osztályát, amelyeknek a -rendű deriváltja folytonos, a következővel jelöljük . $n$ $C^{(n)}$

A származékok írásának módjai

A céloktól, az alkalmazási területtől és az alkalmazott matematikai apparátustól függően a származékok írásának különféle módszereit alkalmazzák. Tehát az n-edik rend deriváltja a jelölésekbe írható:

Lagrange , míg a kis n karaktereknél gyakran használják a római számokat : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

stb.

Az ilyen jelölés rövidsége miatt kényelmes és széles körben elterjedt; a körvonalak azonban nem jelölhetik a harmadik deriváltnál magasabbat.

Leibniz , az infinitezimálisok arányának kényelmes vizuális ábrázolása (csak ha független változó; egyébként a jelölés csak az elsőrendű deriváltra érvényes): $x$

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , amelyet a mechanikában gyakran használnak a koordinátafüggvény időbeli deriváltjára (a térbeli deriváltnál gyakrabban a Lagrange-jelölést használják). A derivált sorrendjét a függvény feletti pontok száma jelzi, például:

{\pont {x}}(t_{0})

az elsőrendű derivált a ponthoz képest , vagy a másodrendű derivált egy ponthoz képest stb.

x

t

t=t_{0}

{\dpont {f}}(x_{0})

f

x

x_{0}

Euler , amely differenciális operátort használ (szigorúan véve differenciális kifejezést a megfelelő függvénytér bevezetéséig), és ezért kényelmes a funkcionális elemzéssel kapcsolatos kérdésekben :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

, vagy néha .

\partial ^{n}\!f(x_{0})

A variációszámításban és a matematikai fizikában gyakran használják a jelölést ; a derivált értékére a - pontban . A részleges származékok esetében a jelölés megegyezik, így a jelölés jelentése a szövegkörnyezetből kerül meghatározásra. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Természetesen nem szabad elfelejteni, hogy mindegyik ugyanazt az objektumot jelöli:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ zárójel {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{times}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{times}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Példák

Hadd . Akkor $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits _{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim \limits _{{x\to x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim \limits _{{x\to x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Hadd . Majd ha akkor $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\operátornév{sgn} x_{0},

ahol a jelfüggvényét jelöli . És ha akkor a tehát nem létezik. $\operátornév{sgn}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Differenciálással kapcsolatos tételek

Az intervallumon lévő folytonos függvényekre , amelyek az intervallumon differenciálhatók , a következők igazak: $f,g$ $[a,b]$ $(a,b)$

Lemma Fermat . Hafelveszi a maximális vagy minimális értéket a pontban, és létezik, akkor. $f$ $c$ $f'(c)$ $f'(c)=0$

Nulla derivált tétel . Ha ugyanazokat az értékeketfel a szegmens végein legalább egy olyan pont van az intervallumon, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával. $f$ $[a,b]$ $(a,b)$

Véges növekmény képlete . Mertvan egy pont, hogy. $f$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Cauchy-féle átlagérték tétel . Haaz intervallumon nem egyenlő nullával, akkor van olyan pont, hogy. $g'$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

L'Hopital szabálya . Havagy, ésvalamelyikkilyukadt környékreés létezik, akkor. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $x$ $c$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(x)}}$

Differenciálási szabályok

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint "függvények függvényeivel", azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetjük ezt a munkát megkönnyítő differenciálási szabályokat. Ha konstans szám és néhány differenciálható függvény, akkor a következő differenciálási szabályok érvényesek: $C$ $f=f(x),g=g(x)$

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Bizonyíték

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x) ))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim _{\Delta x\to 0} {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [négy]

Bizonyíték

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x)))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Bizonyíték

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)))$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)))-{\frac {f(x) }{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x) )g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x) )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Ha a funkció paraméteresen van beállítva:

$\left\{{\begin{mátrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{mátrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2 }\jó jó.$ , akkor $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
A derivált szorzat- és arányképleteket az n-szeres differenciálódás esetére általánosítjuk ( Leibniz-képlet ):

(fg)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

ahol a binomiális együtthatók .

C_{n}^{k}

A derivált következő tulajdonságai a differenciálási szabályok kiegészítéseként szolgálnak:

ha egy függvény differenciálható az intervallumon , akkor folytonos az intervallumon . Ennek fordítottja általában nem igaz (például egy függvény a -n ); $(a,b)$ $(a,b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
ha a függvénynek van egy lokális maximuma/minimumja , amikor az argumentum értéke egyenlő , akkor (ez az ún. Fermat-lemma ); $x$ $f'(x)=0$
ennek a függvénynek a deriváltja egyedi, de a különböző függvényeknek ugyanazok a származékai lehetnek.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\jobbra)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Bizonyíték

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\jobbra)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Egyes függvények származékainak táblázata

Funkció $f(x)$	Derivált $f'(x)$	jegyzet
$x^{\alpha }$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1))$	Bizonyíték Javítjuk és növeljük az argumentumot . Számítsuk ki a függvény növekményét: , tehát Lásd $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-egy)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alpha \cdot x^{{\alpha -1}}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Bizonyíték Javítjuk és növeljük az argumentumot . Számítsuk ki a függvény növekményét: , tehát Lásd $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
${\displaystyle \log _{a}{x))$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$	Bizonyíték $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ A derivált az inverz függvény deriváltján keresztül tanuljuk meg : ${\displaystyle \ln {x))$ $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\frac {1}{x}}$ Kapunk: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$
$\sin x$	$\cos x$	Bizonyíték Javítjuk és növeljük az argumentumot . Számítsuk ki a függvény növekményét: , tehát ( Lásd ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Bizonyíték Javítjuk és növeljük az argumentumot . Számítsuk ki a függvény növekményét: , tehát ( Lásd ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x))))$	1. bizonyíték Javítjuk és növeljük az argumentumot . Számítsuk ki a függvény növekményét: , tehát ( Lásd ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x) )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( x)}}$ 2. bizonyítás $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) }{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x))))$	Bizonyíték $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x))))'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)))=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {mp} \x$	$\mathrm {mp} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Bizonyíték $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Bizonyíték $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x))))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bizonyíték Az arcszinusz deriváltját kölcsönösen inverz függvények segítségével találhatja meg. Ezután e két függvény deriváltját kell vennünk. Most ki kell fejeznünk az arcszinusz deriváltját. A trigonometrikus azonosság ( ) alapján - kapjuk. A plusz vagy mínusz megértéséhez meg kell nézni a koszinusz értékek tartományát. Mivel a koszinusz a 2. és 4. kvadránsban van, kiderül, hogy a koszinusz pozitív. Kiderül. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bizonyíték Az arccosine származékát ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Bizonyíték Az arctangens deriváltját a reciprok függvény segítségével találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most ki kell fejeznünk az arctangens származékát: Most az azonosság ( ) lesz a segítségünkre : Kiderül. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Bizonyíték Az inverz érintő deriváltját ezzel az azonossággal találhatjuk meg: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az inverz érintő deriváltját. Kiderül. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték Az arcsekant származékát az identitás segítségével találhatja meg: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének származékát. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Kiderül. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték Az ív koszekánsának deriváltját megtalálhatja ezzel az azonossággal: Most megtaláljuk ennek az azonosságnak mindkét részének deriváltját. Most fejezzük ki az arccosine származékát. Kiderül. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \x$	Bizonyíték $(\operátornév {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operátornév {ch} {x}$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \ x$	Bizonyíték $(\operátornév {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operátornév {sh} {x}$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Bizonyíték $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) }{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Bizonyíték $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x))))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 }{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \ x$	$-{\frac {\operátornév {sh} (x)}{\operátornév {ch} ^{2}(x)))$	Bizonyíték $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x))))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)))$	Bizonyíték $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x) ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Bizonyíték ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bizonyíték $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bizonyíték $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \ x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))))$

Egy vektorfüggvény deriváltja egy paraméterhez képest

Határozzuk meg a vektorfüggvény deriváltját a paraméterre vonatkozóan: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Ha egy pontban létezik derivált , akkor a vektorfüggvényt abban a pontban differenciálhatónak mondjuk. A derivált koordinátafüggvényei a következők lesznek . $t$ $x'(t),\y'(t),\z'(t)$

Egy vektorfüggvény deriváltjának tulajdonságai (mindenhol feltételezzük, hogy léteznek deriváltak):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ Az összeg deriváltja a származékok összege.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — itt van egy differenciálható skalárfüggvény . $f(t)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - a skaláris szorzat differenciálása .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\jobbra]$ — a vektorszorzat differenciálása .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\jobbra)$ a vegyes termék differenciálása .

A származékok beállításának módjai

Jackson-származék [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Változatok és általánosítások

A származékok általánosításai

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv a gimnázium 10-11 évfolyamának. - M., Oktatás, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G. D. , Levshin B. V., Semenov L. K. A Szovjetunió Tudományos Akadémiája. Rövid történelmi esszé (két kötetben). - 2. kiadás - M . : Tudomány , 1977. - T. 1. 1724-1917. - S. 173.
↑ Az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével
↑ Ebből különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának és az állandónak a szorzatával.
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a és IA Shuda. Statisztikai térelméletek deformálódnak a különböző számításokban . Letöltve: 2014. április 21. Az eredetiből archiválva : 2017. szeptember 21.. (határozatlan)

Irodalom

Vilenkin N., Mordkovich A. Mi a származék // Kvant. - 1975. - 12. sz .
V. G. Boltyansky , Mi a differenciálás?, " Népszerű matematikai előadások ", 17. szám, Gostekhizdat 1955, 64 pp.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich "Matematika"
G. M. Fikhtengolts "A differenciál- és integrálszámítás menete" , 1. kötet
V. M. Borodikhin , Felsőmatematika , tankönyv. kézikönyv, ISBN 5-7782-0422-1

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz a világ körül Britannica (online) Treccani
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564