Rolle tétele

Rolle tétele ( nulla derivált tétel ) azt mondja ki

Ha egy valós függvény, amely egy szakaszon folytonos és egy intervallumon differenciálható , ugyanazokat az értékeket veszi fel a szegmens végén , akkor az intervallumnak legalább egy olyan pontja van, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával. $[a,b]$ $(a,b)$ $[a,b]$ $(a,b)$

Bizonyítás

Ha az intervallum függvénye állandó, akkor az állítás nyilvánvaló, mivel a függvény deriváltja az intervallum bármely pontján egyenlő nullával.

Ha nem, mivel a függvény értékei a szakasz határpontjaiban egyenlőek, akkor a Weierstrass-tétel szerint a legnagyobb vagy legkisebb értékét az intervallum egy pontján veszi fel, azaz van lokális szélsőértéke. ezen a ponton és Fermat-lemmája szerint a derivált ezen a ponton egyenlő 0-val.

Geometriai érzék

A tétel kimondja, hogy ha egy sima görbe mindkét végének ordinátái egyenlőek, akkor a görbén van egy pont, ahol a görbe érintője párhuzamos az x tengellyel.

Következmények

Ha egy differenciálható függvény különböző pontokon eltűnik, akkor a deriváltja legalább különböző pontokban eltűnik [1] , és a derivált nullái az eredeti függvény nulláinak konvex burkában helyezkednek el. Ez a következmény könnyen ellenőrizhető a valódi gyökerek esetében, de igaz az összetett esetre is. $n$ $n-1$

Ha egy n-edik fokú polinom minden gyöke valós, akkor az összes származékának gyöke is kizárólag valós. $n-1$

A két pontja közötti szakaszon lévő differenciálható függvénynek van egy érintője, amely párhuzamos az ezen a két ponton áthúzott szekánssal/hkorddal.

Lásd még

Jegyzetek

↑ N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov , G. M. Kobelkov – Numerikus módszerek, 43. o.

Irodalom

Fikhtengol'ts G.M. A matematikai elemzés alapjai. - M . : " Nauka ", 1962. - T. 1. - S. 225. - 607 p.