Differenciálható funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A differenciálható (egy pontban) függvény olyan függvény , amelynek van differenciálja (egy adott pontban). Egy bizonyos halmazon differenciálható függvény az adott halmaz minden pontjában differenciálható függvény. A differenciálhatóság a matematika egyik alapfogalma, és számos alkalmazási területe van mind magában a matematikában, mind más természettudományokban.

Egy adott pontban differenciálható függvény növekménye az argumentum növekményének lineáris függvényeként ábrázolható egy magasabb kicsinységi fokig. Ez azt jelenti, hogy egy adott pont kellően kicsi környezetei esetén a függvény helyettesíthető lineárissal (a függvény változási sebessége változatlannak tekinthető). Egy függvény növekményének lineáris részét differenciáljának nevezzük (egy adott pontban).

A differenciálhatóság szükséges, de nem elégséges feltétele a függvény folytonossága . Egy valós változó függvénye esetén a differenciálhatóság egyenértékű a derivált létezésével . Több valós változóból álló függvény esetén a differenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele az összes változóra vonatkozó parciális deriváltak megléte. Ahhoz, hogy egy pontban több változóból álló függvény differenciálható legyen, elegendő, ha a parciális deriváltok a vizsgált pont valamely szomszédságában léteznek, és az adott pontban folytonosak. [egy]

Egy komplex változó függvénye esetén az egy ponton lévő differenciálhatóságot gyakran monogenitásnak nevezik , és jelentősen eltér a valós esetben alkalmazott differenciálhatóság fogalmától. Ebben a kulcsszerepet az úgynevezett Cauchy-Riemann feltétel játssza . Azt a függvényt, amely egy pont szomszédságában monogén, holomorfnak nevezzük abban a pontban. [2] [3]

A funkcionális analízisben a differenciálás fogalmát általánosítják a végtelen dimenziós terek leképezései esetében - Gateau és Fréchet származékai .

A differenciálható függvény fogalmának általánosítása a szubdifferenciálható , szuperdifferenciálható és kvázi -differenciálható függvények fogalma .

Egyváltozós függvények

Egy változó függvénye a tartományának egy pontján differenciálható, ha létezik olyan állandó , hogy $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $a$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},

míg a szám elkerülhetetlenül egyenlő a származékkal $a$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

Egy változó függvénye akkor és csak akkor differenciálható egy pontban, ha abban a pontban véges deriváltja van. $x_{0}$

Egy függvény grafikonja egy síkban lévő görbe , míg a lineáris függvény grafikonja $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

pontban rajzolt görbének érintőjét szolgáltatja . $x_{0}$

Például egy függvény bármely valós pontban definiálható és differenciálható, mivel így ábrázolható $f(x) = x^2$

{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2))

Ugyanakkor deriváltja , és a pontban húzott érintőegyenlet alakja: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Az elemi függvények egy ponton lehetnek folytonosak, de nem differenciálhatók. Például egy függvény folytonos a teljes valós tengelyen, de deriváltja ugrást tapasztal, amikor áthalad egy olyan ponton , ahol ez a függvény nem differenciálható. Ezen a ponton szintén lehetetlen érintőt rajzolni a függvény grafikonjára. A függvény a teljes valós tengelyen is folytonos és a grafikonja minden pontban érintővel rendelkezik, azonban a pontban húzott érintő függőleges egyenes, ezért a függvény deriváltja végtelenül nagy a pontban , és maga a függvény ezen a ponton nem különböztethető meg. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Az elemi függvények grafikonjai azt tanítják, hogy egy tetszőleges függvény mindenhol differenciálható, kivéve az argumentum kivételes és elszigetelt értékeit. Az első kísérlet ennek az állításnak az analitikus bizonyítására Ampère -nek köszönhető [4] , ezért ezt Ampère-sejtésnek nevezik. Ez az állítás azonban nem igaz az analitikusan reprezentálható függvények osztályára, például a Dirichlet-függvény még egyetlen ponton sem folytonos [5] . Egy tetszőleges folytonos függvényt sem lehet differenciálhatónak tekinteni, például a Weierstrass-függvény definiált és folytonos a teljes valós tengelyen, de egyik pontjában sem differenciálható [6] . Ez különösen azt jelenti, hogy nem lehet bármely ponton érintővonalat rajzolni a grafikonjára. Ampere sejtése azonban a következő Lebesgue-tétel nem szigorú megfogalmazásának tekinthető : bármely monoton függvénynek mindenhol van egy bizonyos véges deriváltja, kivéve talán néhány nulla mértékegységet . [7] $f(x)$ $x$

Több változó függvényei

A változók függvénye tartományának egy pontján differenciálható, ha vannak olyan állandók , amelyek bármely pontra vonatkoznak $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots ,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

ahol . $\|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

Ebben a bejegyzésben a függvény

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

a függvény differenciálja a pontban , a számok pedig a pontban lévő függvény parciális deriváltjai , azaz. $f(x)$ $x_{0}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n))$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i))}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+ő_{i})-f(x_{0})}{h}},

ahol egy vektor, amelynek a -edik kivételével minden komponense nulla, a -edik komponense pedig 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $én$ $én$

Minden függvénynek, amely egy pontban differenciálható, minden parciális deriváltja van abban a pontban, de nem minden függvény, amelynek minden parciális deriváltja van, differenciálható. Sőt, a parciális deriváltak megléte bizonyos ponton még a függvény folytonosságát sem garantálja ezen a ponton. Példaként tekinthetjük két változó függvényét, amelyek egyenlőek a for és for értékekkel . Az origóban mindkét parciális derivált létezik (nullával egyenlő), de a függvény nem folytonos. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $egy$ $xy\neq 0$

Ez a körülmény komoly akadálya lehet a több változós függvények teljes differenciálszámításának, ha nem lenne egyértelmű, hogy a parciális deriváltak folytonossága egy pontban elegendő ahhoz, hogy a függvény ezen a ponton differenciálható legyen. [egy]

Példák ponttípusokra, ahol a függvény nem differenciálható

A függvény a pontban nem lesz differenciálható , például a következő esetekben: $f(x)$ $x_{0}$

A pont egy megszakítási pont , például az előjelfüggvény nullánál nem differenciálható. $x_{0}$

A függvénynek például van egy sarokpontja , a függvény nullánál nem differenciálható. $x_{0}$ $|x|$

A függvénynek van egy függőleges érintője, azaz például nullánál nem differenciálható. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

A függvény például pontnál élesít , nullánál nem differenciálható. $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Ezek az esetek azonban nem merítenek ki minden olyan helyzetet, amikor a függvény nem differenciálható. Így például a függvény nem tartozik ezen esetek egyikéhez sem, de ennek ellenére nullánál nem differenciálható. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Megjeleníti

A leképezésről azt mondjuk, hogy differenciálható a definíciós tartományának egy pontján, ha létezik egy lineáris leképezés attól függően , hogy ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$ $M$ ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0} ,

vagyis az "o" karakter kis ha bővítésével

\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

A lineáris leképezés a leképezés különbsége egy pontban . ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $f(x)$ $x_{0}$

Ha a leképezést függvényhalmaz adja ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,

akkor egy pontban a differenciálhatósága ekvivalens az összes függvény differenciálhatóságával egy adott pontban, differenciáljának mátrixa pedig a pontban e függvények parciális deriváltjaiból összeállított Jacobi-mátrix . $x_{0}$ $A$ $x_{0}$

Lásd még

Pompeius példája egy példa egy differenciálható függvényre, amelynek deriváltja eltűnik egy sűrű halmazban. Különösen egy ilyen függvény deriváltja nem folytonos minden olyan ponton, ahol nem egyenlő 0-val.

Jegyzetek

↑ 1 2 Zorich V. A., Matematikai elemzés - Bármelyik kiadás, 1. kötet VIII. fejezet.
↑ Bitsadze A. V. Egy komplex változó analitikus függvényeinek elméletének alapjai - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Bevezetés a komplex elemzésbe - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii kritika di calcolo differenziale e integrale. Szerk. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
↑ ábra. F., S.-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M. - L. : GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Matematikai elemzés. - M . : Fazis, 1997. - T. 1.