Példa Pompeiusnak

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Pompeius példája egy példa egy differenciálható függvényre , amelynek deriváltja ( Pompey deriváltja ) eltűnik egy sűrű halmazban . Konkrétan a Pompeius-származék nem folytonos minden olyan ponton, ahol nem egyenlő 0-val.

Történelem

Az 1900-as évek elején a funkcionális differenciálhatóság és integrálhatóság kutatása során felmerült a kérdés, hogy létezhetnek-e olyan függvények, amelyek nem azonosak nullával . Erre a kérdésre Dimitri Pompeiou egy explicit példa megalkotásával igennel válaszolt.

Épület

Jelölje a valós szám valós kockagyökét . Kiválasztjuk a racionális számok felsorolását az egységintervallumban és a pozitív számokat úgy, hogy ${\sqrt[ {3}]{x}}$ $x$ $q_{1},q_{2},\dots$ $a_{1},a_{2},\dots$

a_{1}+a_{2}+\pontok <\infty

Vegye figyelembe a funkciót

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j))} .

A [0, 1] -ből származó bármely x esetén a sorozat minden tagja kisebb vagy egyenlő, mint egy j abszolút értékben, így a Weierstrass-próba szerint a sorozat egyenletesen konvergál egy folytonos, szigorúan növekvő g ( x ) függvényhez . Sőt, kiderül, hogy a g függvény differenciálható, és

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}] {(x-q_{j})^{2}}}}>0,

bármely pontban, ahol az összeg véges; ezenkívül minden más pontban, különösen q j , g ′( x ) := +∞ bármelyikében .

Mivel g képe egy zárt korlátos intervallum a bal végével

g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j))},

a 0 választásáig feltételezhetjük, hogy g (0) = 0 , és egy szorzótényező választásáig azt, hogy g a [0, 1] intervallumot önmagára képezi le . Mivel g szigorúan növekszik, injektív , tehát homeomorfizmus .

Az inverz függvénydifferenciálási tétel szerint az f := g −1 inverz függvénynek bármely pontjában van véges deriváltja, amely legalább a { g ( q j )} j ∈ℕ pontokban eltűnik . A [0, 1] sűrű részhalmazát alkotják (valójában a derivált eltűnik egy nagyobb halmaznál, lásd Tulajdonságok).

Tulajdonságok

Mivel bármely mindenütt differenciálható függvény deriváltjának nullák halmaza egy G-delta halmaz , minden Pompei-függvény esetén ez a halmaz egy sűrű G-delta halmaz. Különösen Baire tétele alapján megszámlálhatatlan .
A Pompey-függvények lineáris kombinációjának deriváltja van, és eltűnik a halmazon , amely egy sűrű G-delta halmaz. Így a Pompeius-függvények vektorteret alkotnak . $a\cdot f+b\cdot g$ ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\))$
A Pompei-származékok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye egy Pompei-származék. Valójában ez a derivált a határérték tétel alapján a derivált jel alatt. Sőt, a sorozatfüggvények nullhalmazainak metszéspontjában eltűnik : mivel ezek sűrű G-delta halmazok, a határfüggvény nulla halmaza is sűrű.
- Következésképpen az [ a , b ] intervallumon lévő összes korlátos Pompeius-derivált E osztálya az összes korlátos függvény Banach-terének zárt lineáris altere az egyenletes távolságra (tehát ez egy Banach-tér).
- A fenti Pompeiu-konstrukció pozitív , ami ritka tulajdonság: Weyl tétele kimondja, hogy általában Pompeiou deriváltja pozitív és negatív értékeket is vesz fel sűrű halmazokban, pontosan abban az értelemben, hogy az ilyen függvények egy sűrű G-delta halmazt alkotnak. egy Banach E tér .

Irodalom

Pompeiu, Dimitrie (1907). Sur les fonctions dérivées . Mathematische Annalen [ fr. ]. 63 (3): 326-332. DOI : 10.1007/BF01449201 . Letöltve: 2021-10-12 .
Andrew M. Bruckner, "A valós függvények differenciálása"; CRM Monograph sorozat, Montreal (1994).