Megszámlálhatatlan készlet

A megszámlálhatatlan halmaz egy végtelen halmaz , amely nem megszámlálható .

A megszámlálhatatlanság néhány egyenértékű definíciója egy halmazra : $x$

nincs injektív leképezés a természetes számok halmazára ; $x$ $\mathbb {N}$
$x$ nem üres , és minden számozott elemsorozathoz van legalább egy olyan elem , amely nem szerepel benne; $x$ $x$
- más szóval: nem üres, és nincs szürjektív leképezése a természetes számok halmazának -ra ; $x$ $\mathbb {N}$ $x$
a hatalom nem véges és nem egyenlő vele . $x$ $\aleph_0$

Ezek a definíciók egyenértékűek a Zermelo-Fraenkel rendszerben a választási axióma használata nélkül . E meghatározások egyenértékűségének igazolása az alábbiakkal:

teljesítménye szigorúan meghaladja $x$ $\aleph_0$

- megköveteli a választási axióma használatát.

Egy megszámlálhatatlan halmaz szuperhalmaza megszámlálhatatlan. A megszámlálhatatlan halmaz legegyszerűbb példája a kontinuum , a kontinuum hatványánál kisebb hatványú megszámlálhatatlan halmazok létezésének kérdése a kontinuumhipotézis tartalma .

Irodalom

M. I. Voitsekhovsky. Matematikai Enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.