Hiány (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az intervallum [1] , pontosabban a számegyenes intervalluma a valós számok halmaza - úgy, hogy ha két szám tartozik ebbe a halmazba, akkor a közöttük lévő bármely szám is ebbe a halmazba tartozik [2] . Logikai szimbólumok használatával ez a meghatározás a következőképpen írható fel:

egy halmaz csak akkor intervallum , ha

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

hol van az univerzális kvantor . A következő készletek példák a hiányosságokra: $\mindenkinek$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Hiánytípusok

Befejezési szakasz

A véges intervallum két szám és - az intervallum vége közé zárt számok halmazából áll , amelyek maguk is szerepelhetnek az összetételében, vagy nem [1] . Ha a ≤ b , akkor egy ilyen intervallum hosszát számnak nevezzük . $a$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Zárt (Zárt) véges intervallum

Ha , akkor az intervallumot szegmensnek [3] vagy numerikus szegmensnek nevezzük, és a következővel jelöljük : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

Abban az esetben, ha a szakasz egy pontból álló halmazzá degenerálódik (egypontos halmazzá ). $a=b$

Open End Gap

Ha , akkor az intervallumot intervallumnak nevezzük, és a következővel jelöljük : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

A nyitott rés megjelölésére gyakran N. Bourbaki javaslatára használják helyette a jelölést . $(a,b)$ $]a,b[$

Félig zárt (félig nyitott) véges fesztáv

hézagok

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

félszegmenseknek (nem szegmensre párnázott) vagy félintervallumoknak nevezzük .

Infinite Gap

Végtelen hézagok

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

és

\quad \mathbb {R}

pozitív vagy negatív oldalon nem korlátozódnak egyetlen valós számra sem. Ebben az esetben célszerű azt feltételezni, hogy ezeknek az intervallumoknak helytelen számai vannak , és az egyik vége vagy mindkét vége , feltételezve, hogy a reláció bármely valós számra igaz . A végtelen intervallumok elnevezései és nevei hasonlóak a véges intervallumok nevéhez. Például a fenti halmazok ennek megfelelően átírhatók $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infty )

Sőt, mivel a és definíció szerint nem szerepelnek ezekben a halmazokban, nem szerepelnek ezekben a halmazokban. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Üres hely

Az üres halmaz is egy intervallum, ami triviálisan a definíciója alá esik: $\varnothing$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

ahol a < b .

Az affinizált számsor intervallumai

A és elemekkel kiegészített valós számok halmazát kiterjesztett (pontosabban affin kiterjesztett , hogy megkülönböztessük a projektíven kiterjesztett egyenestől ) valós egyenesnek nevezzük, és jelöljük , azaz $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R))$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Sőt, bármely valós szám esetén definíció szerint az egyenlőtlenségek $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

A kiterjesztett számegyenesre az intervallum fogalmát is bevezetjük - szakaszok, intervallumok, félintervallumok [1] . A számsor megfelelő intervallumaitól eltérően tartalmazhatnak elemeket . Például, . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\))$

Terminológia

Az orosz nyelvben az intervallum és az interval szavak egy angol szónak felelnek meg . Az angol irodalomban [4] és a külföldi könyvek fordításaiban, valamint néhány más orosz nyelvű könyvben a következő terminológiát használják :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- zárt intervallum ( angolul zárt intervallum ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- nyílt intervallum ( angolul open interval ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- félig nyitott (vagy félig zárt) intervallum ( angolul half-open interval / half-closed interval ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- félig nyitott (vagy félig zárt) intervallum ( angol half-open interval / half-closed interval ).

Vagyis az ilyen terminológiában mindegyiket intervallumnak nevezik , de csak más típusúak.

A régebbi orosz nyelvű irodalomban [5] az "intervallum" helyett az intervallum szót használják : zárt intervallum , nyitott intervallum , félig nyitott (vagy félig zárt ) intervallum .

Azonban különösen az oktatási irodalomban, ahol a legtöbb tétel a kompakt halmazokra vonatkozó függvényekre, célszerű külön nevet használni egy zárt intervallumnak egy szóban - szegmens [3] (a "szegmens" kifejezés inkább geometriai. konnotáció, például "egy számegyenes intervallum" ). Ebben az esetben az "intervallum" kifejezés csak a nyitott réshez van hozzárendelve.

Lásd még: nyitott és zárt készletek.

Tények

A köztes érték tétel

A jól ismert Bolzano-Cauchy-tétel a folytonos függvény közbülső értékeiről azt mondja: a folytonos leképezés alatt bármely intervallum képe is intervallum. Ennek a tételnek van egy általánosítása tetszőleges topológiai terek esetére : egy összefüggő halmaz képe folyamatos leképezés alatt össze van kötve. A numerikus intervallumok, és ráadásul csak ezek csak összefüggő részhalmazok . $\mathbb {R}$

Intervallumműveletek

A gyakorlatban az intervallum gyakran a mért érték lehetséges értékeinek tartományát ( körülbelül ) jellemzi. Az ilyen intervallumok halmazán aritmetikai műveletek definiálhatók. Ezután a mennyiségekre vonatkozó számítások eredménye társítható az intervallumokon belüli megfelelő számításokkal, amelyek végső soron meghatározzák az eredmény lehetséges értékeinek intervallumát.

Mérték

A számegyenes intervallumai, valamint a síkban lévő téglalapok, a térben a téglalap alakú paralelepipedonok stb. az egyik fő objektum, amelyen a mértékelmélet alapul , mivel ezek a legegyszerűbb halmazok, amelyek mértéke ( hossz , terület , térfogat , stb.) ) könnyen meghatározható.

Általánosítások

Összekapcsolt készletek

A valós egyenes fesztávjának általánosítása az összefüggő topológiai tér fogalma . A valódi vonalon minden összefüggő halmaz egy rés, és fordítva, minden rés egy összefüggő halmaz.

Ezenkívül a számegyenes fesztávja a lineáris kapcsolat egy másik, speciálisabb fogalmának alapja . A valós számok halmazában , valamint a tetszőleges dimenziójú euklideszi térben az összefüggés és a lineáris kapcsolat fogalma egybeesik. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Konvex halmazok

A számegyenes intervallum fogalmának egy másik általánosítása a konvex halmaz fogalma .

Részlegesen rendezett készletek hiányosságai

A legáltalánosabb esetben az intervallum fogalma bármely halmazra bevezethető, amelyen a sorrendi relációt bevezetjük . $<$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M. : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ Számos forrásban intervallumként írják le ; például: Interval // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (CC BY SA 3.0) (Orosz)
↑ 1 2 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 2. fejezet Valós számok // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 . Archivált : 2015. június 23. a Wayback Machine -nél
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Ellenpéldák az elemzésben = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz