Összefüggő tér

Az összekapcsolt tér egy nem üres topológiai tér , amely nem osztható két nem üres, nem metsző nyitott részhalmazra.

Definíció

Az üres terület leválasztottnak minősül.

Egy nem üres topológiai teret szétkapcsoltnak nevezünk, ha két nem üres, nem metsző nyitott részhalmaz uniójaként ábrázolható .

Egy nem üres topológiai teret, amely nincs leválasztva , összekapcsoltnak nevezzük .

A topológiai tér egy részhalmazát összekapcsoltnak nevezzük , ha az indukált topológiájával együtt összefüggő teret alkot.

Egyenértékű definíciók

Legyen X topológiai tér. Ekkor a következő feltételek egyenértékűek:

X csatlakoztatva van.
X nem osztható két nem üres, nem metsző zárt részhalmazra.
Az X egyetlen nyitott és zárt részhalmaza az üres halmaz és az X teljes tere . $\varnothing$
Az egyetlen üres határú részhalmaz az üres halmaz és a teljes X tér . $\varnothing$
X nem ábrázolható két nem üres halmaz uniójaként, amelyek egyike sem metszi a másik lezárását.
Az egyetlen folytonos függvény X -től egy kétpontos halmazig (diszkrét topológiával) konstans.

Kapcsolódó definíciók

A tér minden összekapcsolt részhalmaza egy maximálisan összekapcsolt részhalmazban található. Az ilyen maximálisan összefüggő részhalmazokat a tér összekapcsolt komponenseinek ( összekapcsolt komponenseinek , komponenseinek ) nevezzük . $x$ $x$
- Teljesen szétkapcsoltnak nevezzük azt a teret, amelyben minden összekapcsolt komponens egyetlen pontból áll . Ilyen például a diszkrét topológiájú terek, a racionális számok tere a valós egyenesen és a
Cantor halmaz . $\mathbb {Q}$

Ha van egy tér topológiájának alapja , amely összefüggő nyílt halmazokból áll, akkor a tér topológiáját és magát a teret (ebben a topológiában) lokálisan összefüggőnek mondjuk .

x

x

x

Egy összefüggő kompakt Hausdorff-teret kontinuumnak nevezünk .

A tetszőleges két különböző ponthoz tartozó teret , amelyre nyitott diszjunkt halmazok vannak, és olyanok , amelyeket teljesen különállónak nevezünk .

x

x

y

U\ni x

V\ni y

X=U\cup V

Nyilvánvaló, hogy minden teljesen különálló terület teljesen le van választva, de ennek fordítva nem igaz. Tekintsünk egy készletet, amely a készlet két másolatából áll . A szabállyal bevezetünk egy ekvivalencia-relációt, és erre a relációra vonatkozóan egy hányados-topológiájú hányadosteret készítünk. Ez a tér teljesen le lesz választva, de a nulla két (definíció szerint topológiailag különböző) másolata esetén nincs két nyitott halmaz, amely megfelelne egy teljesen különálló tér definíciójának.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Tulajdonságok

Bármely topológiai térben össze van kötve az üres halmaz és az egypontos halmaz. Egyes szerzők azonban az üres halmazt nem tartják összefüggőnek. (Egyes szerzők azonban ezt sem tekintik halmaznak.)
Összekapcsolt térben minden részhalmaznak (kivéve az üres részhalmazt és a teljes teret) van egy nem üres határa .
- Az üres határral rendelkező részhalmazok nyitott és zárt részhalmazok is, és ezeket nyitott-zárt részhalmazoknak nevezzük . Egy összefüggő térben minden clopen részhalmaz triviális, vagy üres, vagy egybeesik a teljes térrel.
Egy összefüggő halmaz képe folyamatos leképezés alatt össze van kötve.
A tér összekapcsoltsága topológiai tulajdonság, vagyis olyan tulajdonság, amely a homeomorfizmusok alatt invariáns .
Összekapcsolt részhalmaz lezárása össze van kötve. $A$
- Ezenkívül bármely „köztes” részhalmaz ( ) is kapcsolódik. Más szóval, ha egy összefüggő részhalmaz sűrű a -ben , akkor a halmaz is össze van kötve. $B$ $A\alhalmaz B \alhalmaz \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Legyen összefüggő halmazok családja, amelyek mindegyikének van egy nem üres metszéspontja egy összefüggő halmazzal . Aztán a készlet $\{A_{\alpha}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

csatlakoztatva is. (Azaz, ha összefüggő halmazok tetszőleges családját egy összefüggő halmazhoz ragasztjuk, az unió mindig összekapcsolt marad.)

Az összefüggő terek szorzata összefügg. Ha a tényezők közül legalább az egyik megszakad, a termék megszakad.
A tér minden összetevője egy zárt halmaz. A tér különböző összetevőinek nincs közös pontja. Egy tér részhalmaz összekapcsolt összetevői a halmaz maximálisan összefüggő részhalmazai . $x$ $x$ $A$ $x$ $A$
A folyamatos leképezés egy összekapcsolt térről egy teljesen leválasztott térre egyetlen pontra való leképezéssé redukálódik.
A lokálisan kapcsolódó tereket nem kell összekötni, és a kapcsolódó tereket nem kell lokálisan összekötni.
Egy lokálisan összekapcsolt térben a csatlakoztatott komponensek nyitva vannak.
Bármely úthoz kapcsolódó tér kapcsolódik.
- Ennek fordítva nem igaz; például egy függvény grafikonjának zárása összefüggő, de nem lineárisan összefüggő (ez a halmaz tartalmaz egy szegmenst az y tengelyen). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Példák

A pszeudoív egy teljesen lineárisan szétválasztott kontinuum példája.
A Knaster-Kuratovsky ventilátor a sík olyan összekapcsolt részhalmazának példája, hogy egy pont eltávolítása teljesen szétkapcsolja .
A Mandelbrot halmaz egy olyan összekapcsolt halmaz példája, amelyre vonatkozóan nem tudni, hogy útvonalhoz kötődik-e.

Változatok és általánosítások

úthoz kapcsolódó tér