Mandelbrot készlet

A Mandelbrot halmaz az olyan c pontok halmaza a komplex síkon , amelyekre az at ismétlődési reláció egy korlátos sorozatot határoz meg. Más szavakkal, ez az olyan c halmaza, amelyre létezik olyan valós R , amelyre az egyenlőtlenség minden n pozitív egészre érvényes . A Duadinak köszönhető meghatározás és név $z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c$ $z_{0}=0$ $|z_{n}|<R$ , Benoit Mandelbrot matematikus után [1] .

A Mandelbrot-készlet az egyik leghíresebb fraktál , a matematikán kívül is, színvisszaadásainak köszönhetően . Töredékei szigorúan nem hasonlítanak az eredeti halmazhoz, de többszörös növekedéssel egyes részei egyre jobban hasonlítanak egymáshoz.

A Mandelbrot halmaz területének pontos értéke nem ismert. 2012-ben a becslések szerint 1 506 591 884 9 ± 2,8 × 10 -9 volt . A tömegközéppont pontos koordinátája (amely az x tengelyen található) szintén ismeretlen, és a becslése –0,286 768 420 48 ± 3,35 × 10 -9 [2] .

Kiterjesztett definíció

A fenti sorozat a komplex sík minden pontjára a következőképpen bővíthető : $c$

{\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\& =x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2} +2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^ {2}+c=\lpontok \end{igazított}}

stb.

Ha ezeket a kifejezéseket a komplex sík koordinátáinak iteratív értéksorozataként újrafogalmazzuk , azaz lecseréljük -ra és -re , akkor a következőt kapjuk: $(x, y)$ $z_n$ $x_{n}+i\cpont y_{n}$ $c$ $x_{0}+i\cdot y_{0}$

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+x_{0},

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+y_{0}.

Vizuálisan végtelen számú elemi figura különböztethető meg a Mandelbrot halmazon belül, és a legnagyobb a közepén egy kardioid . A kardioidot is érinti egy sor ovális, amelynek mérete fokozatosan csökken, nullára hajlik. Mindegyik oválisnak megvan a maga kisebb ovális halmaza, amelyek átmérője is nullára hajlik stb.. Ez a folyamat a végtelenségig tart, és egy fraktál keletkezik. Fontos az is, hogy a figurák ezen elágazási folyamatai ne merítsék ki teljesen a Mandelbrot-halmazt: ha további, növekvő nagyítású „elágazásokat” vesszük figyelembe, akkor azok kardioidját, illetve a főfigurához nem kapcsolódó köröket láthatjuk bennük. Ezek közül a legnagyobb (a főhalmazt tekintve látható) a -1,78 és -1,75 közötti tartományban található a valós értékek negatív tengelyén.

A Mandelbrot-készlet története

A Mandelbrot-halmazt először Pierre Fatou ( fr. Pierre Fatou ) írta le 1905 -ben, egy francia matematikus, aki a komplex számok analitikus dinamikájának területén dolgozott . Fatou a forma rekurzív folyamatait tanulmányozta

z\to z^{2}+c.

Az összetett síkban lévő ponttól kezdve új pontokat kaphat, ha egymás után alkalmazza rájuk ezt a képletet. Az ilyen pontsorozatot transzformációs pályának nevezzük . $z_{0}$ $z_{0}$ $z\ to z^{2}+c$

Fatou úgy találta, hogy az átalakulás kezdeti állapotának pályája meglehetősen összetett és érdekes viselkedést mutat. Végtelen sok ilyen transzformáció létezik – egy minden c értékhez . Akkoriban még nem voltak számítógépek, és Fatou természetesen nem tudta megszerkeszteni a gép minden pontjának pályáját, mindent kézzel kellett megtennie. Számításai alapján bebizonyította, hogy az origótól 2-nél nagyobb távolságra fekvő pont pályája mindig a végtelenbe megy. $z_{0}=0$

Fatou soha nem látta azokat a képeket, amelyeket ma Mandelbrot halmaz képeiként ismerünk, mert a szükséges számú számítást nem lehet kézzel elvégezni. Benoit Mandelbrot professzor volt az első, aki számítógépet használt egy halmaz vizualizálására.

A fraktálokat Mandelbrot írta le 1975 -ben Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Fractal Objects: Form, Randomness and Dimension) című könyvében. Ebben a könyvben Mandelbrot először használta a "fraktál" kifejezést egy olyan matematikai jelenségre, amely ilyen kiszámíthatatlan és meglepő viselkedést mutat. Ezek a jelenségek akkor születtek, amikor rekurzív algoritmust használtunk bármely görbe vagy halmaz előállításához. A Mandelbrot halmaz egy ilyen jelenség, amelyet kutatójáról neveztek el.

1978-ban Robert W. Brooks és Peter Matelsky definiált és rajzolt egy fraktált a Klein-csoportok tanulmányozása során [3] . 1980. március 1-jén Benoit Mandelbrot volt az első, aki vizualizációt látott a készletről [4] . A Mandelbrot halmaz matematikai tanulmányozása Adrien Douady és John H. Hubbard matematikusok munkájával kezdődött, akik számos alapvető tulajdonságát megállapították [1] .

A Mandelbrot készlet az 1980-as évek közepén vált ismertté a számítógépes grafikai bemutatókon, amikor a személyi számítógépek elég erősek lettek ahhoz, hogy megépítsék és nagy felbontásban megjelenítsék a készletet [5] .

Készlet építése

Könnyen bebizonyítható, hogy amint a modulus nagyobb, mint 2 (vagy valós és képzetes részek tekintetében ), a sorozat minden további modulja a végtelenbe fog hajlani. Abban az esetben, | c | > 2 ez a matematikai indukció módszerével igazolható . Mikor | c | > 2 , a c pont biztosan nem tartozik a Mandelbrot halmazba, ami matematikai indukcióval az egyenlőség segítségével levezethető (bár ebben az esetben lehet egy másik , amelyre a megfelelő sorozat abszolút értékben korlátos, és néhány n esetén az egyenlőtlenség tart ). $z_n$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $z_{0}=0$ $z_{0}$ $|z_{n}|>2$

Ezzel a számmal való összehasonlítás (az angol szakirodalomban "ba -out " -nak hívják ) lehetővé teszi, hogy olyan pontokat válasszon ki, amelyek nem tartoznak a készletbe. A halmazon belüli pontoknál az iterációk sorozata nem képez trendet az új ponttól a végtelenig terjedő távolságra tetszőleges számú iteráció esetén, így bizonyos számú iteráció után a számítás befejezhető. Az iterációk maximális számát, amely után a szám a halmazon belülinek tekintendő, egyszerűen be kell állítani a konstrukció kezdeti feltételeként. $|z_{n}|$ $|z_{0}|$

Az így kapott kép csak a valós Mandelbrot halmaz közelítése. Jobb eredmény érhető el az iterációk maximális számának növelésével, de ezzel arányosan nő a számítási idő is.

Színbeállítások

Szigorúan matematikailag a Mandelbrot és Julia halmaz képeinek fekete-fehérnek kell lenniük – egy pont vagy hozzátartozik a halmazhoz, vagy nem. De javasoltak lehetőségeket a képek színessé tételére. A legelterjedtebb módszer a halmaz külső határához közeli pontok színezése az iterációk számától függően, ami után nyilvánvalóvá válik, hogy a pont nem tartozik a halmazhoz (ez után kezd teljesülni a kritérium ). $|z_{n}|>2$

Annak meghatározására, hogy egy pont egy halmazhoz tartozik-e (hagyományosan feketére festve) vagy sem (az „eltávolítási aránytól függően” színre festve), a következőképpen történik: minden iterációnál kiszámítják az aktuális távolságot - a modulo , amelyet ezután összehasonlítanak a „végtelenségi kritériummal” (általában az értéket 2-vel egyenlőnek veszik). Jelentősen csökkentheti a számítások számát, ha megtagadja a négyzetgyök-ellenőrzés kiszámítását, nem , hanem . $z_{0}$ $|z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4$

Így ha , akkor a pont arra a színre lesz festve, amelyre korábban kiválasztották - annak az iterációnak a száma, amelynél a feltétel teljesült (indexként szolgálhat a színtáblázatban vagy paraméterként használható egy összetettebb algoritmus). Ha ennél a konstrukciónál nem érjük el a kritériumot a maximális iterációszámmal, akkor a pontot a halmazhoz tartozónak tekintjük, és a színe fekete. $|z_{n}|^{2}\geqslant 4$ $z_{0}$ $n$

A halmaz határához közeli pontoknak általában több iterációra van szükségük ahhoz, hogy elérjék a nem-tagsági feltételt. Ezért az ilyen területeket sokkal hosszabb ideig dolgozzák fel.

Optimalizálás

A számítások mennyiségének csökkentésének egyik módja a halmaz általános képének felépítése során annak ellenőrzése, hogy a pont a fő kardioid tartományába esik-e . A poláris koordinátákban megadott kardioid képlete a következő:

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Így egy ponthoz számolni kell $(x, y)$

\rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta =\operátornév {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Ha , akkor a pont a halmazba esik és feketére van festve, majd az iteratív számítások elhagyhatók. ${\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c))$ $(x, y)$

A gyakorlatban a számítások mennyiségének legnagyobb csökkenését a határ követése adja: ha van olyan zárt görbe, amely nem metszi az abszcissza tengelyt, amelynek minden pontja ugyanannyi iteráció esetén túllépi a kimentési határt, ill. , fordítva, a Mandelbrot halmazhoz tartozik, akkor ezen a görbén belül bármely pont ugyanazzal a tulajdonsággal rendelkezik, és ezért a szegélyen belüli teljes terület ugyanazzal a színnel lesz kitöltve.

Kapcsolat a Julia készlettel

A Mandelbrot halmaz eredetileg Julia halmazok katalógusaként készült : az összetett sík minden pontjának megvan a maga Julia halmaza. A Mandelbrot halmazhoz tartozó pontok az összekapcsolt Julia halmazoknak felelnek meg, a pontok pedig, amelyek nem tartoznak a szétkapcsolt halmazokhoz .

Ebből világosan látszik, hogy a Julia halmaz érdekes változatai a Mandelbrot halmaz határán fekvő pontoknak felelnek meg. A mélyen belüli pontok egyszerű geometriai formákat alkotnak, míg a külsők pornak tűnnek, amelyek színes foltokat vesznek körül. Egyes programok, például a Fractint, lehetővé teszik a felhasználó számára, hogy a képernyőn megadja azt a pontot, amelyre a megfelelő Julia készletet fel kell építeni, így könnyebben találhat szép képeket.

Maga a Mandelbrot halmaz a Julia halmazhoz hasonló szerkezeteket tartalmaz: bármely c esetén a Mandelbrot halmaz c körüli tartománya a c paraméterű Julia halmaz középpontjához hasonlít . Ha nagymértékben megnöveljük a Mandelbrot halmazt a c határpontban, és ugyanezt megtesszük a Julia halmazzal, ugyanabban a c értékben és ugyanabban a pontban, akkor a minták aszimptotikusan egymáshoz hajlanak növekvő nagyításokkal.

A Mandelbrot halmaz változatai

A "Mandelbrot készlet" néven gyakran csak a fent leírt készlet értendő. Egy komplex változó bármely függvénye azonban rendelkezik egy megfelelő Mandelbrot-halmazzal, amelyre szintén jellemző egy összefüggő Julia halmaz jelenléte vagy hiánya. Például beírhatja az f c ( z ) = z 3 + c értéket . Ezután minden c értéknél ellenőrizzük az f c függvény Julia halmazának kapcsolatát , és ha van kapcsolat, akkor feltételezzük, hogy c a Mandelbrot halmazhoz tartozik. A leírt esetben a kapcsolódást ugyanúgy ellenőrizhetjük, mint f c ( z ) = z 2 + c esetén .

Ezek az állítások általánosíthatók kettőnél több számmal meghatározott Julia halmazokra is. Például a három valós számmal definiált Julia halmaznak van egy megfelelő háromdimenziós Mandelbrot halmaza.

A Mandelbrot halmaz többdimenziós változatait is figyelembe veszik. Tehát a háromdimenziós analógot Mandelbrot izzójának nevezték , bár a komplex számok klasszikus analógjai csak 2 hatványával egyenlő dimenzióban léteznek.

A Mandelbrot halmaz alkalmazása

A Mandelbrot készletet a turbulencia előfordulásának elemzésére használják a plazmafizikában és termodinamikában, a bifurkációk kialakulását stb.

Alkalmazás a művészetben

A Mandelbrot készlet színes változatainak gyönyörű töredékeinek megtalálása sok ember számára érdekes hobbi. Ilyen képek gyűjteményét gyűjtik, és mindegyiket le lehet írni néhány paraméterrel, például egyszerűen a középpont koordinátáival. A kreativitás eleme nemcsak a koordináták keresése, hanem egy színtábla kiválasztása is, összekapcsolva az elvégzett iterációk számával, valamint az elvégzett ismétlések maximális számával.

Középpont koordináták:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
szélesség 0,00000000374
Középpont koordináták:
−1,88488933694469,
0,00000000081387,
szélesség 0,00000000000024
Középpont koordináták:
−0,777807810193171,
0,131645108003206,
szélesség 0,0000000000000032
Középpont koordináták:
−0,56267837374,
0,65679461735,
szélesség 0,000000064

Nagyon sok program létezik fraktálok rajzolására, de ennek ellenére sokan saját verziót írnak, hogy nagyobb rugalmasságot biztosítsanak a kísérletezés során, például animált képek készítésekor.

Középpont koordináták:
−0,56267837374,
0,65679461735,
szélesség 0,000000064
Középpont koordináták:
−1,96680095, 0,00000478
,
szélesség 0,00000014
Középpont koordináták:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
szélesség 0,00000000374

Matematikai tények a Mandelbrot halmazról

Davdy és Hubbard bebizonyította, hogy a Mandelbrot-készlet össze van kötve , bár ezt nehéz elhinni, ha megnézzük a különböző részeit összekötő bonyolult hídrendszereket. A Mandelbrot halmaz összekapcsoltsága abból következik, hogy az egymásba ágyazott összefüggő kompakt halmazok metszéspontja.

Azt azonban nem tudni, hogy helyileg kapcsolódik -e . Ezt az összetett dinamikában jól ismert sejtést MLC-nek ( Mandelbrot lokálisan kapcsoltnak ) nevezték el . Sok matematikus erőfeszítéseket tesz ennek bizonyítására. Jean-Christophe Yoccoz bebizonyította, hogy a sejtés minden pontban igaz véges renormalizálással , majd sok más matematikus a Mandelbrot-halmaz számos különböző pontján bizonyította a sejtés érvényességét, de az általános sejtés bizonyítatlan marad.

Mitsuhiro Shishikura bebizonyította, hogy a Mandelbrot halmaz határának Hausdorff-dimenziója 2. De továbbra is kérdés, hogy a Mandelbrot halmaz határának van-e pozitív Lebesgue-mértéke a síkon.

Az iterációk száma a halmaz felépítésének bármely pontjában nagyon közel van a Mandelbrot-halmaz feltöltésekor fellépő elektromos potenciál logaritmusához. Pontosabban, a határ egybeesik ezzel a potenciállal. $\ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big )}+{\text{const))$

Irodalom

Benoit Mandelbrot , Richard L. Hudson. (Nem)engedelmes piacok: Fractal Revolution in Finance = The Misbehavior of Markets. - M . : "Williams" , 2005. - S. 400. - ISBN 5-8459-0922-8 .

Lásd még

Mandelbrot kagyló
Mandelbrot készlet a wikibookon (mintaprogramokkal különböző nyelveken)

Jegyzetek

↑ 1 2 Adrien Douady és John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
↑ Pixel Counting archiválva : 2019. augusztus 10. a Wayback Machine -nél .
↑ Robert Brooks és Peter Matelski, A PSL(2,C) 2 generátoros alcsoportjainak dinamikája, Irwin Kra. Riemann felületek és kapcsolódó témák: Az 1978-as Stony Brook-konferencia előadásai / Irwin Kra. - Princeton University Press , 1981. - ISBN 0-691-08267-7 . Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2019. október 11. Az eredetiből archiválva : 2019. július 28. (határozatlan)
↑ R. P. Taylor és J. C. Sprott. Biofil fraktálok és az organikus képernyővédők vizuális utazása . Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, sz. 1 . Társaság a Káoszelméletért Pszichológiában és Élettudományokban (2008). Letöltve: 2009. január 1. Az eredetiből archiválva : 2008. augusztus 28.. (határozatlan)
↑ Pountain, Dick. Turbófeltöltés Mandelbrot (neopr.) // Byte . - 1986. - szeptember.

Linkek

Videó: 10 perc elképesztő búvárkodás a Mandelbrot készletben
Mandelbrot és Julia a FractalWorldben játszódik
Benoit Mandelbrot: Fraktálok és a durvaság művészete , TED-beszédfelvétel
A Mandelbrot 4.0 egy ingyenes ( a GNU nyilvános licenc alatt álló ) program Mandelbrot és Julia készletek létrehozására
QuickMAN v.1.10 ingyenes ( a GNU 2 nyilvános licenc alatt ) program a Mandelbrot készlet létrehozásához (angol)
A Mandelbrot készlet interaktív JavaScript vizualizációja

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Britannica (online) Brockhaus

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon