Lebesgue dimenzió

A Lebesgue-dimenzió vagy topológiai dimenzió a borítások által meghatározott dimenzió , a topológiai tér legfontosabb invariánsa . Egy tér Lebesgue-dimenzióját általában jelöli . $x$ $\dim X$

Definíció

Metrikus terekhez

Egy kompakt metrikus tér esetében a Lebesgue-dimenziót úgy definiáljuk, mint a legkisebb egész számot , amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely esetén létezik egy véges nyitott lefedés - amelynek multiplicitása van ; $x$ $n$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $x$ $\leqslant n+1$

Ahol

$\varepsilon$ -a metrikus tér fedője olyan borító, amelynek minden elemének átmérője , és $<\varepsilon$
egy tér véges fedésének többszöröse az a legnagyobb egész szám, amelynél létezik egy pont a térben , amelyet ennek a borítónak az elemei tartalmaznak. $x$ $k$ $x$ $k$

Topológiai terekhez

Egy tetszőleges normál (különösen metrizálható ) tér esetén a Lebesgue-dimenzió a legkisebb egész szám úgy, hogy a tér minden véges nyitott fedésére létezik egy (véges nyitott) multiplicitás-borítás, amelybe bele van írva . $x$ $n$ $x$ $n+1$

A borítót akkor nevezzük a borítóba írtnak, ha a borító minden eleme a borító legalább egy elemének részhalmaza . ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$ ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$

Példák

Nulladimenziós terek: egypontos tér, diszkrét tér , Cantor halmaz .
- Lásd még : nulldimenziós tér .
Egydimenziós terek: kör , Sierpinski háromszög , Sierpinski szőnyeg , Menger szivacs
- Lásd még az Urysohn-görbét

Tulajdonságok

Egyenlőtlenség $\dim(X\x Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

megfelel a topológiai terekre vonatkozó alábbi követelmények egyikének és :

x

Y

mérhetőség,
tömörség,
lokális tömörség és parakompaktság.

Vannak példák olyan térpárokra, amelyek esetében ez az egyenlőtlenség megsérül; [1] ez az egyenlőtlenség is szigorúnak bizonyulhat, például néhány Pontrjagin felületpár esetében .

A metrikus tér Lebesgue-dimenziója nem haladja meg a Hausdorff-dimenziót .
- Ezen túlmenően, egy metrizálható elválasztható tér Lebesgue-dimenziója egybeesik a Hausdorff-dimenziók infimumával az összes metrika tekintetében . $x$ $x$
Ostrand színes dimenziós tétele: Egy normál térnek akkor és csak akkor van dimenziója , ha a tér bármely lokálisan véges nyitott fedésére létezik olyan feliratos fedő , amely alcsaládokból áll úgy, hogy minden alcsalád diszjunkt halmazokból áll. $x$ $\dim X\leqslant n$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A))))$ $x$ ${\mathcal V}$ $n+1$ ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ ${\mathcal {V}}_{i}$

Történelem

Először Henri Lebesgue mutatta be . Azt sejtette, hogy a -dimenziós kocka dimenziója . Leutzen Brouwer ezt először bizonyította. Az invariáns pontos meghatározását (a metrikus kompakt halmazok osztályára) Pavel Samuilovich Uryson adta meg . $n$ $n$ $\dim X$

Jegyzetek

↑ Bér, Michael L. A termékterek dimenziója // Proc. Nat. Acad. sci. USA. - 1978. - T. 75 , 10. sz . — S. 4671–4672 . - doi : 10.1073/pnas.75.10.4671 .

Irodalom

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. Moszkva: Nauka, 1973

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika