Peano görbe

A Peano-görbe olyan parametrikus görbék általános neve, amelyek képe négyzetet (vagy általánosabban nyitott térrégiókat) tartalmaz. Egy másik név egy térkitöltő görbe .

Giuseppe Peano -ról (1858-1932), az ilyen görbék felfedezőjéről nevezték el , és bizonyos értelemben a Peano-görbe a neve annak a specifikus görbének, amelyet Peano talált.

Definíció

Intuitív módon a 2-es vagy 3-as (vagy nagyobb) méretű folytonos görbe úgy is felfogható, mint egy folyamatosan mozgó pont által megtett út. A felfogás eredendő bizonytalanságának kiküszöbölésére Jordan 1887-ben a következő definíciót javasolta, amelyet azóta a folytonos görbe pontos definíciójaként fogadtak el :

A görbe (végpontokkal) egy folytonos leképezés , amelynek tartománya a [0, 1] egységszegmens .

A legáltalánosabb formájában egy ilyen leképezés tartománya tetszőleges topológiai térben található, de a legtöbb vizsgált eset egy euklideszi térben , például egy kétdimenziós síkban ( síkgörbe ) vagy egy három- dimenziós tér ( térgörbe ).

Néha a görbét a leképezés tartományával (az összes lehetséges leképezési érték halmazával) azonosítjuk, és nem a tényleges függvényt. Végpontok nélküli görbét is definiálhatunk folytonos függvényként a valós egyenesen (vagy a nyitott intervallumon (0, 1)).

Történelem

1890 -ben Peano felfedezett egy folytonos görbét, amelyet ma Peano-görbének hívnak, és amely az egységnégyzet bármely pontján áthalad [1] . Célja az volt, hogy folytonos leképezést hozzon létre az egységszegmenstől az egységnégyzetig . Georg Cantor korábbi váratlan eredménye, miszerint egy egységintervallum ponthalmaza ugyanolyan kardinalitású , mint bármely véges dimenziós sokaság pontjainak halmaza , különösen az egységnégyzet , ami indította a Peano-probléma tanulmányozását . A probléma, amit Peano megoldott, a kérdés volt: lehet-e folytonos egy ilyen leképezés, vagyis ki tudja-e tölteni egy görbe a teret. Peano megoldása nem hoz létre folyamatos egy az egyhez leképezést az egységintervallum és az egységnégyzet között, sőt ilyen leképezés nem is létezik (lásd alább).

Általánosan elfogadott volt, hogy a vastagság és az egydimenziósság homályos fogalmát görbével társították. Minden gyakran előforduló görbe darabonként differenciálható volt (azaz darabonként folytonos deriváltja volt), és az ilyen görbék nem tölthetik ki a teljes egységnégyzetet. Így a teret betöltő Peano-görbét a józan ész ellentétesnek tekintették.

Peano példájából könnyen levezethető folytonos görbék, amelyek kitöltenek egy n - dimenziós hiperkockát (bármilyen n pozitív egész számra ). Könnyű volt Peano példáját kiterjeszteni olyan görbékre is, amelyeknek nincs kezdő- vagy végpontja, és ezek a görbék kitöltik a teljes n - dimenziós euklideszi teret (ahol n 2, 3 vagy bármely más pozitív egész szám).

A legtöbb jól ismert térkitöltési görbe iteratív módon van megszerkesztve, mint egy szakaszonkénti lineáris folytonos görbék sorozatának határa, amelyek minden lépésben megközelítik a térkitöltési görbét.

Peano forradalmi újságja nem tartalmazott semmilyen illusztrációt a konstrukcióról, amelyet háromtagú kiterjesztéssel és tükrözéssel határoztak meg . A grafikai konstrukció azonban egyértelmű volt számára – olyan díszt készített, amely a görbe felépítését tükrözi torinói házán. A dolgozat végén Peano megjegyezte, hogy a technikát ki lehet terjeszteni más furcsa alapokra is, nem csak a 3. alapra. Úgy döntött, hogy elkerül minden grafikus megjelenítést, kétségtelenül az a vágy vezérelte, hogy megbízható, tökéletesen szigorú bizonyítékot nyújtson, ne hagyatkozzon semmilyen rajzra. Abban az időben (az általános topológia kutatásának kezdetekor) gyakran szerepeltek a grafikus érvek a bizonyításban, de gyakran akadályként szolgáltak a józan észnek ellentmondó eredmények megértésében.

Egy évvel később David Hilbert ugyanabban a folyóiratban publikálta a Peano-konstrukció egy másik változatát [2] . Hilbert dolgozata elsőként tartalmazott egy rajzot, amely segítette az építési technika bemutatását. Lényegében ugyanaz a rajz volt, mint az itt látható. A Hilbert-görbe analitikus formája azonban lényegesen bonyolultabb, mint Peanóé.

Tulajdonságok

Minden Peano-görbének több pontja van .
- Nincs olyan Peano-görbe, amelynek minden pontja egyszerű vagy dupla, de van olyan Peano-görbe, amelynek legfeljebb csak tripla pontja van (megszámlálható számban). Ilyen például a maga Peano által megszerkesztett görbe ; Hilbert alábbi konstrukciója négyszeres pontot tartalmaz (szintén megszámlálható számban ).
Léteznek mértékmegtartó Peano-görbék, vagyis egy négyzet részhalmazának Lebesgue -mértéke egybeesik a szakaszon lévő inverz képének Lebesgue-mértékével. Hilbert alábbi példája rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
A Peano-görbe fogalma összefügg azzal a furcsa ténnyel, hogy a síkra folytonos területek formájában vetített egyszerű térbeli ívek léteznek - ilyen például a görbe. ${\megjelenítési stílus r(t)=(x(t),y(t),t)}$

ahol az első két függvény határozza meg a Peano-görbét. Ez az ív ugyan megvéd a függőleges napfénytől, de nem véd az esőtől, mert nem összefüggő felület.

Ha a görbe nem injektív, akkor a görbe két egymást metsző részgörbéje található, amelyeket a görbe tartományában (azaz egységnyi szegmensben) lévő két nem metsző szakasz képeiként kapunk. Két részgörbe metszi egymást , ha két kép metszéspontja nem üres. Csábító azt gondolni, hogy a görbék metszéspontja azt jelenti, hogy metszik egymást, mint két nem párhuzamos egyenes metszéspontja, de két görbe (esetünkben részgörbe) keresztezés nélkül is összeérhet, ahogy például egy érintővonal érint egy kört. .
A klasszikus térkitöltő Peano és Hilbert görbéknél a görbék metszéspontjainál (szakmai értelemben) a görbék között érintkezés van anélkül, hogy kereszteznénk őket. Egy térkitöltő görbének (minden pontjában) lehet önmetszéspontja (keresztezése), ha a közelítő görbéje önmagát keresztező. A térkitöltési görbe közelítése nem tartalmazhat önmetszéspontokat, mint a fenti ábrákon. A 3D térben a közelítő görbék önmetszéspontok nélkül akár csomópontokat is tartalmazhatnak . A közelítő görbék az n -dimenziós tér korlátozott tartományában maradnak , de hosszuk korlátlanul nő.
A térkitöltő görbék a fraktálok megalkotásának speciális esetei . Nem létezhet differenciálható térkitöltő görbe. Nagyjából a differenciálhatóság korlátozza a görbe fordulási sebességét.

Integráció

Wiener rámutatott arra, hogy egy térkitöltő görbe segítségével csökkenthető a Lebesgue-integráció nagy dimenziókban Lebesgue-integrációra egy vonalszakaszon.

Példák

Analitikai konstrukció [3] .

Tekintsük a szegmensen definiált és függvényeket az alábbiak szerint. Legyen a hármas számrendszerben a dekompozíció alakja (mindegyik 0, 1 vagy 2). Ekkor olyan számként definiálunk, amelynek a hármas rendszerben a következő dekompozíciója van: $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$ $x$ ${\displaystyle 0,x_{1}x_{2}\ldots x_{k))$ $x_k$ $f(x)$ ${\displaystyle 0,f_{1}f_{2}\ldots f_{k))$

$f_{1}=x_{1}$
$f_{2}=x_{3}$ , ha páros, és , ha páratlan , ha páros $x_{2}$ ${\displaystyle 2-x_{3))$ $x_{2}$
$\ldots$
${\displaystyle f_{k}=x_{2k-1))$ ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

${\displaystyle f_{k}=2-x_{2k-1))$ , ha páratlan ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

Hasonló módon definiálunk egy függvényt a hármas számrendszerben: $g(x)=0,g_{1}g_{2}\ldots g_{k}\ldots$

$g_{1}=x_{2}$ , ha páros, és , ha páratlan , ha páros , ha páratlan $x_{1}$ ${\displaystyle 2-x_{2))$ $x_{1}$
$\ldots$
${\displaystyle g_{k}=x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$
${\displaystyle g_{k}=2-x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$

Tekintsük most a leképezést: . Bizonyítható, hogy: $x\mapsto [f(x),g(x)]$

1. A és függvények jól definiáltak (vagyis azokban a számokban, amelyek 2 ábrázolást tesznek lehetővé a hármas számrendszerben, az és értékek függetlenek az ábrázolás megválasztásától). $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$

2. A és a funkciók folyamatosak a . $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$

3. Az és egyenletrendszernek legalább 1 és legfeljebb 4 megoldása van bármely és az intervallumon fekvõre . $f(x)=a$ $g(x)=b$ $a$ $b$ $[0,1]$

Így a koordinátafüggvényekkel és a síkon történő leképezés folyamatosan négyzetre emeli a szakaszt . $f$ $g$ $x\mapsto [f(x),g(x)]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1]^{2))$

Geometriai konstrukció.

Vegyünk egy egységszegmenst és egy egységnégyzetet. Az építés első lépésében a négyzetet középvonalakkal 4 egyenlő négyzetre, a szakaszt pedig 4 egyenlő részre osztjuk. Az 1. szint négyzeteit és szegmenseit kapjuk. Minden következő lépésben az előző szint négyzeteit és szegmenseit 4 részre osztjuk - megkapjuk a következő szint négyzeteit és szegmenseit. Van 4 négyzetünk az 1. szintből, 16 négyzet a 2. szintből stb.; ugyanez a vágásokkal. Állítsuk be az egyes szintek négyzeteinek megkerülésének sorrendjét. Az 1., 2., ..., 6. szintnél a kikerülési sorrend az ábrán látható. A bejárási sorrend az n -edik szint négyzethalmaza és az n - edik szint szegmenseinek halmaza között egy-egy megfeleltetést határoz meg .

Legyen most az eredeti egységszakasz tetszőleges pontja. Legyen az 1. szint azon szakaszának a száma, amelyhez a pont tartozik , a 2. szint azon szakaszának a száma, amelyhez a pont tartozik , stb. Tekintsünk azonos számú négyzeteket . A négyzetek bejárásának sorrendje úgy van elrendezve, hogy (figyelem!) a négyzetek egymásba ágyazott rendszert alkossanak. A beágyazott (összehúzódó) szakaszrendszer tétele szerint a négyzeteknek egyetlen közös pontja van . $x$ $k_{1}$ $x$ $k_{2}$ $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $k_{1},k_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Ha egyidejűleg 2 szegmenshez tartozik, akkor ezek a szegmensek 2 közös oldalú négyzetnek felelnek meg - így van elrendezve a bypass sorrend. Az ilyen négyzeteket szomszédosnak nevezzük. Ebben az esetben a négyzetek helyett vegye figyelembe a téglalapokat – a szomszédos négyzetek kombinációit. És akkor - ezeknek a téglalapoknak a beágyazott rendszerének egyetlen közös pontja. $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Hasonló érvelés azt mutatja, hogy a négyzet minden pontja megfelel az egységszakasz valamely pontjának. $y$ $x$

A felépített leképezés határozza meg a kívánt Peano-görbét. A megjelenítés folytonossága abból adódik, hogy a közeli szegmensek közeli négyzeteknek felelnek meg. Minden pont rendelkezik: $x \jobbra y$ $y$

1 előkép (ha nem tartozik két nem szomszédos, bármilyen szintű négyzet határai közé), $x$ $y$
2 előkép (ha legfeljebb két nem szomszédos, valamilyen szintű négyzet van a határokon), $y$
3 előkép (ha egy bizonyos szintű négy négyzet határaihoz tartozik, amelyek közül egy pár szomszédos), ilyen pont például a négyzet közepe, $y$
4 előkép (ha négy páronként nem szomszédos, valamilyen szintű négyzet határaihoz tartozik). $y$

A négyzetek megkerülésének sorrendjét meghatározó görbék a Peano-görbe egymás utáni közelítései. A Peano-görbe e görbék határa.

A fő különbség a Peano-görbe és a Hilbert-féle értelmezés között az, hogy az eredeti egységnégyzet nem 4-re, hanem 9 részre van osztva, mindegyik oldalmérete 3 -n x3 -n , ahol n az iterációs szám [4] .

Változatok és általánosítások

Van egy analógja a Peano görbéknek, amelyek egy többdimenziós kockát, sőt egy Hilbert-téglát is kitöltenek .
A térkitöltő, vagy inkább gömbkitöltő görbékre számos természetes példa van a kétszeresen degenerált Klein-csoportok elméletében . Például Cannon és Thurston [5] megmutatta, hogy egy pszeudo-Anosov-diffeomorfizmus leképezésének tóruszköteg univerzális borításának végtelenben lévő köre egy térkitöltő görbe. (Itt a végtelenben lévő gömb a hiperbolikus 3-dimenziós tér végtelenjében lévő gömb .)
Egy nagy horderejű általánosítás tartalmazza Mazurkiewicz tételét :

Ha egy kontinuum , akkor a következő feltételek egyenértékűek: $x$

a tér helyileg kapcsolódik, $x$
$x$ az intervallum folytonos képe.

A Hahn - Mazurkiewicz -tétel olyan terek alábbi jellemzése, amelyek görbék folytonos képei:

Egy nem üres Hausdorff-topológiai tér akkor és csak akkor egy egységnyi intervallum képe, ha kompakt, összefüggő , lokálisan összefüggő , és a második megszámlálhatósági axióma érvényes rá .

Azokat a tereket, amelyek az egységintervallum folytonos képe, néha Peano tereknek nevezik . A Hahn-Mazurkiewicz-tétel számos megfogalmazásában a megszámlálhatóság második axiómájának teljesülését a metrizálhatóság fogalma váltja fel . Ez a két készítmény egyenértékű. Az egyik irányban a kompakt Hausdorff-tér egy normál tér , és Urysohn metrizálhatósági tétele szerint a második megszámlálhatósági axióma teljesülése metrizálhatóságot jelent. Ellenkező irányban egy kompakt metrikus térben a második megszámlálhatósági axióma teljesül .

Jegyzetek

↑ Peano, 1890 , p. 157.
↑ Hilbert, 1891 .
↑ Az ötletet a könyvből vettük: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Kiválasztott problémák a valós elemzésben. - M . : Nauka, 1992. - S. 44.
↑ Slyusar, V. Fraktálantennák. Egy alapvetően új típusú "törött" antenna. 2. rész . Elektronika: tudomány, technológia, üzlet. - 2007. - No. 6. S. 82-89. (2007). Letöltve: 2020. április 22. Az eredetiből archiválva : 2018. április 3.. (határozatlan)
↑ Cannon, Thurston, 2007 .

Irodalom

James W. Cannon, William P. Thurston . Csoportinvariáns Peano-görbék // Geometry & Topology . - 2007. - T. 11 , sz. 3 . - S. 1315-1355 . — ISSN 1465-3060 . - doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 . (először 1982-ben jelent meg)
D. Hilbert . Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen . - 1891. - T. 38 , sz. 3 . — S. 459–460 . - doi : 10.1007/BF01199431 .
BB Mandelbrot. A természet fraktálgeometriája . - W. H. Freeman, 1982 .
Douglas M. McKenna. A matematika könnyebb oldala: Az Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History anyaga / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Mathematical Association of America , 1994. - S. 49-73. — ISBN 978-0-88385-516-4 .
G. Peano . Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen . - 1890. - T. 36 , sz. 1 . – S. 157–160 . - doi : 10.1007/BF01199438 . .
Hans Sagan. Térkitöltő görbék. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3 .
Aleksandrov PS Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába. - M. , 1977.
Luzin N. N. Valós változó függvényeinek elmélete. - 2. kiadás - M. , 1948.

Linkek

Java kisalkalmazások a Cut-the-Knot webhelyen :

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon