Darabonként meghatározott függvény

A darabonkénti függvény egy változó függvénye, amely a valós számok halmazán van definiálva, és amelyet külön képlettel (vagy a függvény megadásának más módszerével) adunk meg a definíciójának tartományát alkotó intervallumokon .

A darabonkénti affin függvény egy változó numerikus függvénye, így annak teljes definíciós tartománya intervallumokra "osztható", így a függvény az egyes intervallumok belsejében affin.

Formális meghatározás és hozzárendelés

Legyenek adottak a függvény-hozzárendelés változási pontjai. $x_{1}<x_{2}<\lpontok <x_{n}$

A darabonként meghatározott függvények általában minden intervallumon külön vannak megadva. Formálisan ezt így írják: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

Egyes intervallumokon vagy bizonyos pontokon általános esetben előfordulhat, hogy egy darabonként adott függvény nem definiálható.

A darabonkénti függvények típusai

Ha minden függvény állandó, akkor darabonként állandó függvény. $f(x)$
Ha minden függvény lineáris függvény , akkor darabonként lineáris függvény . $f_{i}(x)$ $f(x)$
Ha minden függvény folytonos függvény , akkor darabonként folytonos függvény . Előfordulhat azonban, hogy önmagában nem folyamatos. $f_{i}(x)$ $f(x)$
Ha minden függvény differenciálható függvény , akkor egy darabonként sima függvény . Ebben az esetben a függvényváltási pontok lehetnek töréspontok vagy nem. $f_{i}(x)$ $f(x)$
Ha minden függvény monoton függvény , akkor darabonkénti monoton függvény . Ugyanakkor a szomszédos intervallumokon az első derivált előjele eltérő lehet, azaz növelő vagy csökkentő függvények. $f_{i}(x)$ $f(x)$

Példák az általánosan használt darabonkénti függvényekre

Abszolút érték (modulus) . $y=|x|$
jel funkció . $y=\operátornév {sgn}(x)$
Heaviside funkció $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Darabosan lineáris függvény .
Spline .
B-spline .