Láncvonal

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Láncvonal - olyan vonal, amelynek formáját egy rugalmas homogén, nyújthatatlan nehéz fonal vagy lánc (innen a vonal neve) veszi fel, amelynek végei egyenletes gravitációs térben vannak . Lapos transzcendentális görbe .

Vonalegyenlet derékszögű koordinátákkal :

y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\operátornév {ch} {\frac {x}{a}}

(a függvényhez lásd a hiperbolikus koszinusz ). $\operátornév {ch}$

Minden felsővezeték hasonló egymáshoz, a paraméter megváltoztatása egyenértékű a függvénygráf tengely mentén történő egyenletes kiterjesztésével vagy szűkítésével . A grafikus változót a felsővezeték y tengelyének legalacsonyabb pontjától mérjük . $a$ $x$ $x$

A felsővezeték matematikai tulajdonságait először Robert Hooke tanulmányozta az 1670-es években, egyenletét pedig egymástól függetlenül Leibniz , Huygens és Johann Bernoulli határozta meg 1691-ben.

Tulajdonságok

A két párhuzamos, nem feltétlenül egyenlő átmérőjű gyűrűre feszített szappanfólia katenoid alakot ölt – a felsővezeték forgásával létrejövő felület.
Az ív hossza a csúcstól egy tetszőleges pontig : ${\megjelenítési stílus (x,~y)}$ $s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.$
A görbületi sugár : $R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.$
A felsővezeték, annak két ordinátája és az abszcissza tengely által határolt terület : $S=a^{2}\left(\operátornév {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}} \right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\ jobb).$
Az egyenes mentén gördülő parabola fókuszpályája egy felsővezeték [1] [2] .
A felsővezeték súlypontja a legalacsonyabb a két támaszt összekötő azonos hosszúságú menetformák közül, vagyis minimális potenciális energiája van [3] .

Alkalmazások

Arches

A fordított felsővezeték szilárdság szempontjából az ideális forma az ívekhez. A hosszirányban azonos lineáris sűrűségű , fordított felsővezeték formájában homogén ív anyaga csak mechanikai nyomófeszültséget szenved, hajlítófeszültséget nem .

Bridges

A púpos híd felsővezetékhez közeli alakja van.

Érdemes megjegyezni, hogy a függőhídkábelek ívének alakja közelebb van a parabolához , mint a felsővezetékhez [4] . Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a híd fő súlya a hídfedélzeten oszlik el, és nem a tartókábelekben.

Négyzet alakú kerekek

Ha az autópálya profilja fordított felsővezeték ív, akkor négyszögletes kerekeken simán és rázkódás nélkül hajtható - ha a kerék négyzetének oldala megegyezik a kerék egyenetlenségének ívének hosszával. út [5] [6] .

Történelem

A felsővezeték-egyenletet Leibniz , Huygens és Johann Bernoulli szinte egyszerre kapta meg [7] .

További tények

A St. Louis - i nyugati ív kapujára fel van írva a felsővezeték matematikai képlete , lábban kifejezve [8] :

y=-127{,}7'\cdot \operátornév {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.

Méterben kifejezve ez az egyenlet lesz $y=-38{,}92\cdot \operátornév {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.$

Lásd még

láncos szökőkút

Jegyzetek

↑ Savelov A. A. Síkgörbék . Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások (Referencia útmutató) / Szerk. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Anurag Agarwal és James Marengo A gördülő parabola fókuszának helye
↑ A variációk számítása (2015). Letöltve: 2019. május 3. (határozatlan)
↑ Kunkel Pál. Hanging With Galileo (angol) (HTML). Whistler Alley Matematika - whistleralley.com. Letöltve: 2012. július 24. Az eredetiből archiválva : 2012. augusztus 6..
↑ Láncvonal . Matematikai tanulmányok . Hozzáférés időpontja: 2020. április 7. (határozatlan)
↑ A felsővezetékes út és a négyszögletes kerekek . New Trier High School, Winnetka, Illinois. Letöltve: 2020. április 7. Az eredetiből archiválva : 2006. szeptember 30. (határozatlan)
↑ Merkin, 1980 , p. 47.
↑ Barrow, John D. Kozmikus képek: kulcsképek a tudománytörténetben . - 1952. - ISBN 9781448113675 . — ISBN 1448113679 .

Irodalom

Lyusternik L.A. A legrövidebb sorok. Variációs feladatok. - M. - L .: Gostekhizdat , 1955. - ( Népszerű matematikai előadások ).
Merkin D. R. Bevezetés a rugalmas menet mechanikájába. — M .: Nauka , 1980. — 240 p.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg