Lejtővonal

A lejtővonal egy görbe a háromdimenziós euklideszi térben , amelynek érintője bármely egyenessel állandó szöget zár be (lejtőirány).

Minden síkbeli görbe lejtővonal. Értelmesebb példa a csavarvonalak , amelyeket egy hengeren vagy kúpon lévő vonalakként határoznak meg, amelyek állandó szöget zárnak be a vezetőkkel.

A lejtővonal legfontosabb tulajdonsága a torzió és görbület arányának állandósága mindenhol, ahol a görbület nem egyenlő nullával ( Lancret tétele ; Frenet képleteiből következik ). Ezen túlmenően minden görbe, amelynél a torzió és a görbület aránya állandó, meredekség [1] [2] .

A lejtővonal érintőinek gömbindikátora [3] egy kör . A gömbön lévő lejtővonalak merőleges vetületei epicikloidok , lejtővonalak vetületei egy forgásparaboloidon a paraboloid irányára merőleges síkra - a kör evolvensére [4] . A lejtővonal fő normálisai párhuzamosak valamilyen síkkal, és ennek az ellenkezője is igaz: minden kétszer folytonosan differenciálható görbe, amelynek van egy síkja, amellyel az összes főnormál párhuzamos, lejtővonal [5] . A lejtővonal evolúciója egy lapos görbe [6] .

Először Emil Müller osztrák geométer ( német  Emil Müller ; 1861-1928) vizsgálta szisztematikusan , ő vezette be a német kifejezést is.  Böschungslinien [7] .

Jegyzetek

  1. ↑ Mémoire sur les courbes à double courbure , présenté le 6 Floréal de l'an X (1802. április 25.) à l'Académie des sciences.
  2. ↑ Blaschke, 1935 , p. 49-50.
  3. ↑ Szférikus indikátor - Matematikai enciklopédia cikk . L. A. Sidorov
  4. ↑ Blaschke, 1935 , p. 52-53.
  5. ↑ E. R. Rosendorn. Problémák a differenciálgeometriában. - M . : Tudomány. - S. 12-13. — 64 p.
  6. ↑ Blaschke, 1935 , p. 55.
  7. ↑ Blaschke, 1935 , p. 49.

Irodalom