Astroid
Astroid (a görög αστρον - csillag és ειδος - nézetből , azaz csillag alakú) [1] - egy sík görbe , amelyet egy sugarú kör pontja ír le, és egy sugarú kör belső oldalán gördül . Más szavakkal, az astroid egy hipocikloid modulussal .
Történelem
A görbe "Astrois" formájú nevét Josef Johann von Litrow osztrák csillagász javasolta 1838-ban [2] [3] [1]
Egyenletek
A derékszögű derékszögű koordinátákban megadott egyenlet:
Paraméteres egyenlet: [4]
Az astroid egy 1. típusú (és hatodrendű) algebrai görbe is. Egyenlet algebrai formában:
Tulajdonságok
- Négy csücske van .
- Ívhossz 0 ponttól ig
- A teljes görbe hossza .
- A görbületi sugár:
- Görbével határolt terület:
- A forgástest térfogata bármely koordinátatengely körül:
- Az astroid egy állandó hosszúságú szakaszok családjának burkológörbéje , amelyek végei két egymásra merőleges egyenesen helyezkednek el [1] .
- Az astroid evolúciója hasonló hozzá, de kétszer akkora, és hozzá képest 45°-kal elfordul.
- Az astroid (a tengely mentén kiterjesztve) az ellipszis evolúciója [1] . Ebben az esetben a parametrikus kifejezés alakja:
![{\displaystyle y=b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^ {\frac {3}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fad30697cd26a5c1288082f34fcc2085490680c)
- Az utolsó egyenlet jobb oldalának határozatlan integrálja a differenciálbinomiális integrálja, és egyenlő
![{\displaystyle \int b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^ {\frac {3}{2}}dx={\frac {1}{16}}b\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{ \frac {2}{3}}}}\left(-3a{\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}+x\left(14-8\left({\frac { x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)\right)+3a\arcsin \left({\sqrt[{3}]{\frac {x}{a} }}\jobbra)\jobbra)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae3a4b1c9373b0756313260473ab9282a142f73)
Jegyzetek
- ↑ 1 2 3 4 Aleksandrova, 2008 , p. 17.
- ↑ JJ v. Littrow . 99. §. Die Astrois // Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. - Wien, 1838. - 299. o.
- ↑ Loria, Gino. Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorye und Geschichte . - Lipcse, 1902. - 224. o .
- ↑ A téglalap alakú koordinátákban szereplő egyenlet a parametrikus egyenletből és az alapvető trigonometrikus azonosságból következik . A parametrikus egyenlet levezetése a következő. Vegyük a hipocikloid egyenletet , helyettesítsük k=4. A hármas szög szinusza/koszinusza az összeg szinusz/koszinusz képletével bővíthető, ugyanez a kettős szög szinusz/koszinusza esetén is. Vegyük figyelembe az R=4r-t és kapjuk meg az egyenleteinket.
Irodalom
- Savelov A. A. Síkgörbék : Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 p. 2002-ben újra kiadva, ISBN 5-93972-125-7 .
- Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, megnevezések története: Szótár-kézikönyv. - 3. kiadás, Rev. — M .: LKI , 2008. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
| Görbék | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definíciók | |||||||||||||||||||
| Átalakult | |||||||||||||||||||
| Nem síkbeli | |||||||||||||||||||
| Lapos algebrai |
| ||||||||||||||||||
| Lapos transzcendentális |
| ||||||||||||||||||
| fraktál |
| ||||||||||||||||||