Apollonius szőnyeg

Apollóniosz szőnyege vagy Apollonius rácsa - egy fraktál , amely három páronkénti érintőkörre épül. Ez az összes lehetséges körsorozat határkészletét jelenti, amelyek mindegyike három már megszerkesztett kört érint . Nevét Pergai Apollóniosz görög matematikusról kapta .

Épület

Kezdjük három körrel, amelyek mindegyike érinti a másik kettőt. Ezután rekurzív módon köröket adunk a meglévő figurához, amelyek mindegyike körülbelül három már megszerkesztett kört érint. Az első lépésben kettőt, a másodikban hatot adunk hozzá, és így tovább.

Folytatva az építést, az n- edik lépésnél 2 3 n új kört adunk hozzá.

A megszerkesztett körök lezárását Apollonius-rácsnak nevezzük .

Tulajdonságok

• Az Apollonius-rács Hausdorff-dimenziója körülbelül 1,3057 [1] .
• Az Apollonius-rács felfogható a Sierpinski-háromszög két homeomorf részhalmazának egyesüléseként , amelyek osztoznak a csúcsokon.
• A Möbius-transzformációs csoport alcsoportja , amely az Apollonius-rácsot magába foglaló transzformációkból áll, tranzitív módon hat a rács köreire.
• Az Apollonius-rács úgy definiálható, mint a négy páronkénti érintőkörben történő inverziók által alkotott sík transzformációk csoportjának határhalmaza.

Görbület

A kör görbületét a sugarának reciprokaként határozzuk meg.

• A negatív görbület azt jelzi, hogy az összes többi kör belülről érinti ezt a kört. Ez a határoló kör.
• A nulla görbület egy vonalat (végtelen sugarú kört) ad.
• A pozitív görbület azt jelzi, hogy az összes többi kör kívülről érinti ezt a kört. Ez a kör egy negatív görbületű körön belül van.

Az Apollonius-rácsban minden körnek pozitív görbülete van, kivéve egyet, a határoló kört.

Apollonius egész rácsai

Tegyük fel, jelölje négy páronkénti érintőkör görbületét. Descartes tétele szerint

Ebből következik, hogy ha négy páronkénti érintőkörnek egész görbülete van, akkor az Apollonius-rácsukban lévő összes többi körnek egész görbülete van. Végtelenül sok ilyen egész rács létezik . [2] Az alábbiakban több egész háló található kerületi görbületekkel.

Változatok és általánosítások

Az apollóni rács 3D-s megfelelője a gömbök apollóni pakolása.

Jegyzetek

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. - P. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks és Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" , J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Irodalom

• A. A. Kirillov. rész II. Apollonius szőnyege // Mese két fraktálról . - 2. kiadás, javítva. - M . : MTsNMO Kiadó , 2010. - ( "Modern matematika" nyári iskola ). — ISBN 978-5-94057-670-9 .