Szuperellipszis

A szuperellipszis ( Sánta görbe ) egy geometriai görbe , amelyet az egyenlet derékszögű koordinátáiban határoz meg

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

ahol n , a és b pozitív számok.

A képlet egy zárt görbét határoz meg, amelyet egy téglalap határol − a ≤ x ≤ + a és − b ≤ y ≤ + b . Az a és b paramétereket a görbe féltengelyének vagy félátmérőjének nevezzük.

Ha n 0 és 1 között van, a szuperellipszis négyágú csillagnak tűnik, homorú oldalakkal. Különösen n = 1/2 esetén a csillag oldalai parabolák .

Ha n = 1, a görbe egy rombusz , amelynek csúcsai (± a , 0) és (0, ± b ) vannak. Ha n értéke 1 és 2 között van, a görbe úgy néz ki, mint egy domború oldalú rombusz.

n = 2 esetén a görbe ellipszissé változik (különösen a = b esetén körré). Ha n > 2, a görbe úgy néz ki, mint egy lekerekített sarkú téglalap . A (± a , 0) és (0, ± b ) pontokban a görbe görbülete nulla.

Ha n < 2, a görbét néha "hipoellipszisnek", n > 2 esetén pedig "hiperellipszisnek" nevezik.

A szuperellipszis szélső pontjai egyenlőek (± a , 0) és (0, ± b ), a „sarkok” (vagyis a körülírt téglalap átlóival való metszéspontjai) koordinátái pedig (± sa, ±sb ), ahol [1] ). ${\displaystyle s=2^{-1/n))$

Algebrai tulajdonságok

Ha n egy nullától eltérő p / q racionális szám , akkor a szuperellipszis egy algebrai görbe . Pozitív n esetén a sorrend pq , negatív n esetén 2 pq . Különösen, ha a = b = 1 és n páros egész szám, a szuperellipszis egy n fokú Fermat-görbe . Ebben az esetben nem egyes szám, bár általában egyes szám..

Például, ha x 4/3 + y 4/3 = 1, akkor a görbe az implicit egyenlet által adott harmadik típusú algebrai 12-es görbe.

(x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{ 4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+

+3(x^{4}+y^{4})-1=0,

vagy parametrikus egyenlet

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \ jobb)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2} }

vagy

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operátornév {sgn}(\sin \theta ). \end{igazított}}

A szuperellipszis területét a képlet fejezi ki

S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n))\right)\right)^{2)){\Gamma \left(1+{ \tfrac {2}{n}}\right)}}.

Általánosítások

A szuperellipszis a következőképpen általánosítható:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m n>0.

vagy

{\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\ \y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operátornév {sgn}(\sin \theta ).\end{igazított}}

(itt van egy paraméter, amit nem szögként kell értelmezni). $\theta$

Történelem

A szuperellipszist derékszögű koordinátákkal egyenlet formájában a szokásos ellipszis általánosításaként először Gabriel Lame (1795-1870) javasolta.

A szuperellipszis "feltalálását" néha tévesen Piet Hein (1905-1996) dán költőnek és tudósnak tulajdonítják. 1959-ben a stockholmi építészeti iroda pályázatot hirdetett a Sergelstorg tér körüli körforgalom megtervezésére . Piet Hein nyerte meg a versenyt egy szuperellipszis transzportgyűrűvel, melynek értéke n = 2,5 és a / b = 6/5 [2] . A tér rekonstrukciója 1967-ben fejeződött be. Hein a szuperellipszist más kivitelben is használta - ágyak, tányérok, asztalok [3] . A szuperellipszist a hosszú tengelye körül forgatva készítette el a " szupertojást ", amely népszerű játékszerré vált, mert a hagyományos tojástól eltérően sík felületen is megállt.

1968-ban, amikor a vietnami háború párizsi tárgyalásán a delegációk nem tudtak megegyezni az asztal alakjáról, szuperellipszis táblázatot javasoltak [2] . A mexikóvárosi Azteca Stadion , az 1968-as olimpiai játékok fő stadionja szuperelliptikus alakú .

Waldo Tobler 1973-ban kifejlesztett egy Tobler-féle hiperelliptikus vetületként ismert térképvetületet , amelyben a meridiánok szuperellipszisek [4] .

A Hermann Zapf által 1952-ben létrehozott Melior betűtípus szuperelliptikus „o” betűkkel rendelkezik. Úgy gondolják, hogy Zapf intuitív módon választotta ki a betű formáját, fogalma sem volt ennek a forma matematikai tartalmáról, és csak később vette észre Piet Hein a betűtípus egyes betűinek elemeinek hasonlóságát a szuperellipszisekkel. 30 évvel később Donald Knuth beépítette Computer Modern betűtípuscsaládjába azt a lehetőséget, hogy válasszon a valódi ellipszisek és szuperellipszisek között (mindkét alakot köbös spline -ekkel közelítve ).

A Pittsburgh Steelers labdarúgócsapat logóján három négyszögletű csillag látható, amelyek szuperellipszisek, n = 0,5.

Az iOS mobil operációs rendszerben a 7-es verzió óta szuperellipsziseket használnak az ikonok külső körvonalának kialakítására (lekerekített sarkú négyzetek helyett) és csoportosító ikonok (téglalap alakú téglalapok helyett). [5] Az iOS az a = b = 60 és az n = 5 paramétereket használja .

Lásd még

Az astroid szuperellipszis n = 2/3 és a = b , hipocikloid négy sarokkal.
- A deltoid háromszög alakú hipocikloid .
A squircle egy szuperellipszis n = 4 és a = b , amely úgy néz ki, mint egy "négykerék".
- A Reuleaux-háromszög egy háromszög alakú kerék.
A szuperképlet egy szuperellipszis általánosítása.
A szuperkvadrikák a szuperellipszisek háromdimenziós analógjai.

Jegyzetek

↑ Donald Knuth: A METAFONTbook , p. 126
↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Piet Hein szuperellipszise, Matematikai karnevál. A Scientific American , New York: Vintage Press, p. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ A szuperellipszis archiválva 2005. március 10-én a Wayback Machine -nél , a BBC The Guide to Life, The Universe and Everything című kiadványában (2003. június 27.)
↑ Tobler, Waldo (1973), The hyperelliptical and other new pszeudocylindrical equal area map projections , Journal of Geophysical Research 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753
↑ Frissített alkalmazásikonok // Kyle Begeman. Alkalmazásfejlesztés iOS 7 rendszerben . Packt Publishing Ltd., 2014.

Linkek

Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. disszertáció szuperellipsoidok használatával)
Barr, Alan H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics, Kirk, David, Graphics Gems III , Academic Press, p. 137–159 ( kód : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antwerpen: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
Sokolov, D. D. (2001), Lamé curve , Springer Encyclopaedia of Mathematics , < http://eom.springer.de/L/l057390.htm >
Szuperellipszis kalkulátor és sablongenerátor
Szuperellipszis (MathWorld)
Johan Gielis és Bert Beirinckx archiválva 2007. december 6-án a Wayback Machine " Superformula "-nál.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg