Íves hajsza

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. június 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Az üldözési görbe a „hajsza” probléma megoldását reprezentáló görbe, amelyet a következőképpen állítunk fel . Hagyja, hogy a pont egyenletesen mozogjon egy adott görbe mentén. Meg kell találni egy pont egyenletes mozgásának pályáját úgy, hogy a pályára húzott érintő bármely mozgási pillanatban átmenjen az ennek a pillanatnak megfelelő pont pozícióján . $A$ $P$ $A$

Történelem

A görbe hajsza problémáját Leonardo da Vinci vetette fel, és Bouguer oldotta meg 1732-ben.

A probléma beállításának általános esete

Az egyenes egyenlet levezetéséhez olyan koordinátarendszert választunk, amelyben az abszcissza tengely átmegy a és pontok kezdeti helyzetén , és a pont az xAy koordinátarendszer origójában van . A pontok állandó sebességének arányát k -val jelöljük . $P$ $A$ $A$

Ha feltételezzük, hogy végtelenül rövid idő alatt a pont meghaladta a távolságot , a pont pedig a távolságot , akkor a fenti feltétel szerint megkapjuk az összefüggést , ill. $P$ $dS$ $A$ $dS_{1}$ $dS=kdS_{1}$

{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.

(egy)

Továbbá ki kell fejezni x - et , y- t és ezek differenciálját. Feltétel szerint a pont koordinátáinak teljesíteniük kell a kívánt görbe érintőjének egyenletét, azaz $d\xi$ $d/eta$ $P$

\eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).

Ha ehhez az egyenlethez hozzáadjuk a feltétel által adott „kikerülő” mozgás pályájának egyenletét, a kapott egyenletrendszerből és . Miután ezeket az értékeket behelyettesítette az (1) differenciálegyenletbe, az alakba kerül $F(\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx)),{\frac {d^{2}y}{dx^{2))}\right)=0

Az integráció állandóit a kezdeti feltételekből ( at ) találhatjuk meg. $y=0;y'=0$ $x=0$

Általános esetben egy tetszőlegesen megadott görbe esetén meglehetősen nehéz megoldást találni a kapott egyenletre. A probléma nagymértékben leegyszerűsödik, ha a legegyszerűbb esetet vesszük figyelembe, amikor az „elkerülő” pályája egyenes. $F(\xi ,\eta )$

Egy egyszerű üldözési görbe

Egyszerű üldözési görbét kapunk abban az egyszerű esetben, amikor a keresett pont egyenes vonalban mozog. Először Pierre Bouguer írta le 1732-ben. Később Pierre Louis de Maupertuis az üldözési görbét más esetekre gondolta.

Definíció

Legyen az üldözés tárgyának kiindulópontja, és legyen az üldöző kiindulópontja. Hagyja, hogy a pont egyenletesen mozogjon valamilyen irányban sebességgel , és a pont mindig a pont felé irányuló sebességgel mozogjon . A pont pályája egy egyszerű üldözési görbe. $A_0$ $P_0$ $A$ $V=áll$ $P$ $W=áll$ $A$ $P$

Egyenlet derékszögű koordinátákkal

Hadd $k={\tfrac {V}{W}}$

Mozogjon az A pont is az x tengely mentén . Akkor $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$

x(y)={1 \over 2}\left({{1-y^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-y^{(1+ k)}} \felett {(1+k)}}\jobbra)

számára

k\neq 1

x(y)={1 \over 4}\cdot \left({y^{2}}-\ln {y^{2}}-1\right)

számára

k=1\;

Következtetés

Tekintsük az A 0 (0,0), P 0 (0,1) esetet, amikor az „elkerülő” az x tengely mentén mozog, és k > 0 esetén. Egy tetszőleges időpillanatban az „elkerülő” mindig be van kapcsolva. az „üldöző” mozgáspályájának görbéjének érintője, azaz

{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {-y}{ax}},

amely alapján felírjuk a differenciálegyenletet :

y+y'(ax)=0\;

, ahol

y>0

Következik a feltételből , az idő és a különbségtétel után , amely alapján: $a=V\cdot t$ ${\frac {y}{y'}}+Vt=x$ ${\pont y}=y'\cdot {\pont x}$ ${\pont y}'=y''\cdot {\pont x}$

{\dot x}={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y ''}}

Írjunk egy kifejezést a görbe hosszának meghatározására :

l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}{\mathrm {d}}x

Tól től

{\mathrm {d}}x^{2}+{\mathrm {d}}y^{2}=W^{2}{\mathrm {d}}t^{2}

és

w^{2}={\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d}} y^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\pont x}^{2}+(y'\cdot {\pont x})^{2}

kellene

{\pont x}={\frac {W}{{\sqrt {1+y'^{2))))}

Hasonlóképpen különbséget teszünk a következők tekintetében : $y$

y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0

Helyettesítő megoldás

u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {{\mathrm {d}}u}{ {\mathrm {d}}x}}

amikor a változók szétválasztása ahhoz vezet

{\frac {-{\mathrm {d}}u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}=k\cdot {\frac {{\mathrm {d}}y}{y} }

az integráció után a következőket kapjuk:

\operátornév {arsinh}u=k\cdot \ln y+C

majd a sinh formális definíciójának felhasználása után kapjuk: $C_{1}=e^{C}$

x'={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}y}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot y) ^{k}-(C_{1}\cdot y)^{{-k}}\jobbra]

Újraintegrálás az integrációs állandó definíciójával . A kezdeti feltételektől $C_{2}$

\left.{\tfrac {dx}{dy}}\right|_{{y=1}}=0

kellene

C_{1}=1

szintén

\left.x\right|_{{y=1}}=0

kapunk:

C_{2}={\frac {k}{1-k^{2))}

vagy azért

C_{2}=-{\frac {1}{4}}

k=1

vagy:

x(y)={1 \over 2}\left({\begin{mátrix}\quad \\{y^{{(1+k)}} \over (1+k)}\\\quad \end {mátrix}}-\left\lkapcsos zárójel {\begin{mátrix}{y^{{(1-k)}} \over (1-k)}\\{\ln {|y|}}\end{mátrix }}\jobbra\rkapcsos zárójel \jobbra)+\left\lkapcsos zárójel {\begin{mátrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{mátrix}}\ jobb\rkapcsos zárójel \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases))

Ezen egyenletek alapján a fenti egyenletek előállíthatók.

Tulajdonságok

Ha k > 1 , az üldözési vonal keresztezi az "elkerülő" mozgásvonalát, és a P pont valóban megelőzi az A pontot.

K ≤ 1 esetén az üldözővonal aszimptotikusan közelíti az "elkerülő" mozgásvonalát, és a P pont nem fogja megelőzni az A pontot .

K ≠ 1 racionális érték esetén a hajtóvonal egy algebrai görbe. Ha k = 1 , és ha k irracionális, az üldözési görbe transzcendentális görbévé válik.

Ha k = 1 (az "üldözõ" és az "elkerülõ" azonos sebességével) az üldözési görbe hasonlít egy tractrixre , de más egyenlete van.

Több üldöző probléma

Gyakorlati alkalmazás

Az üldözési görbe megalkotásának feladata először a hajó irányvonalának megválasztásakor merült fel, figyelembe véve a külső tényezőket (oldalszél, áramlatok) az utazás célpontjának optimális elérése érdekében.

Ez a probléma ismét felmerült a tengeralattjárók, torpedók, majd később irányított rakéták katonai felhasználása során, hogy elérjék és megsemmisítsék a mozgó célokat. Ezenkívül az üldözési görbét alkalmazzák az űrnavigációban.

Rakéta irányító rendszerek

A rakéta - irányító rendszer fő feladata annak biztosítása, hogy minimális hibával eltalálja a célt, vagy elkapja a célpontot. Mivel az irányított rakéták képesek a rakéta röppályájának azonnali kilövés utáni megváltoztatására, sok olyan pálya létezik, amelyek mentén egy irányító rakéta eltalálja a célt. De a gyakorlatban azt próbálják kiválasztani, amelyik adott tüzelési körülmények között a legnagyobb valószínűséggel találja el a célt.

A rakétairányító rendszer működésének hátterében álló állapotot irányítási módszernek nevezzük. A vezetési módszer határozza meg a rakéta elméleti pályáját. A kiválasztott irányítási módszert általában egy számítástechnikai eszköz segítségével valósítják meg, amely információkat kap a rakéta és a cél relatív helyzetéről, mozgásuk sebességéről és irányáról. Ezen információk alapján kiszámítják a rakéta kívánt pályáját, és meghatározzák a célponttal való találkozás legelőnyösebb pontját. A számítások eredményei alapján vezérlőparancsok generálódnak, amelyek a vezérlőkormányokhoz érkeznek. A kormányok egy adott törvény szerint irányítják a rakétát. A rakétavezetés egyik módszere az üldözési görbét leíró matematikai összefüggések alkalmazása [1] .

Változatok és általánosítások

Tágabb értelemben egy pont mozgásának egyenletessége nem szükséges, és ebben az értelemben a tractrix chase görbe . $P$

Jegyzetek

↑ Kurotkin V. I., Sterligov V. L. Rakéta célzás. M.: A Szovjetunió Védelmi Minisztériumának katonai kiadója. 1963, 88 p.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg