A negyedik fokozat egyenlete

Negyedik fokozat egyenlete - a matematikában a következő alakú algebrai egyenlet :

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Az algebrai egyenletek negyedik foka a legmagasabb , amelyre általános formában (vagyis az együtthatók bármely értékére) van analitikus megoldás .

Mivel a függvény egy páros fokú polinom, ugyanaz a határértéke, mint a plusz és mínusz végtelen. Ha , akkor a függvény mindkét oldalon plusz végtelenre növekszik, ami azt jelenti, hogy globális minimuma van. Hasonlóképpen, ha , akkor a függvény mindkét oldalon mínusz végtelenre csökken, ami azt jelenti, hogy globális maximuma van. $f(x)$ $a>0$ $a<0$

Vieta tétele negyedfokú egyenletre

A negyedik fokú egyenlet gyökerei a következőképpen kapcsolódnak az együtthatókhoz : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ $a,\,b,\,c,\,d,\,e$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\, x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4} +x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.

Történelem

A negyedik fokú egyenletekkel először az ókori indiai matematikusok foglalkoztak az ie 4. század között. időszámításunk előtt e. és II században. n. e.

Lodovico Ferrari nevéhez fűződik a negyedfokú egyenlet megoldásának 1540-es megszerzése, de munkája a köbös egyenlet megoldására támaszkodott, amivel nem rendelkezett, így ezt a megoldást nem publikálták azonnal, [1] hanem publikálták. csak 1545-ben, a Ferrari – Gerolamo Cardano mentor köbegyenlet megoldásával együtt a „ Nagy művészet ” [2] című könyvében .

Az Abel-Ruffini tétel 1824- ben bebizonyította, hogy ez egy olyan egyenlet legnagyobb hatványa, amelyre általános megoldási képlet adható . Galois feljegyzései később a polinomgyökök elegáns elméletéhez vezettek, amelynek ez a tétele volt az egyik. az eredményekről. [3]

Döntések

Megoldás oldószeren keresztül

A negyedik fokú egyenlet megoldása

x^{4}+px^{2}+qx+r=0

a köbös felbontás megoldására redukálódik

y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0

A rezolvens gyökerei az eredeti egyenlet gyökeivel (melyet meg kell találni) a következő összefüggésekkel kapcsolódnak: ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4))$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Az oldószer gyökereit a Cardano-képlet segítségével találhatjuk meg . Három képlet az egyenlet és az egyenlet közötti összefüggésekre ( Vieta relációja at együtthatóra ) ${\displaystyle y_{i))$ $x_{i}$ $x^{3}$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0

adjunk meg egy 4 algebrai egyenletrendszert 4 ismeretlennel, ami könnyen megoldható.

Descartes-Euler megoldás

Egy negyedik fokú egyenletben

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0

behelyettesítést végrehajtva az egyenletet a következő formában kapjuk (ezt "hiányos"-nak nevezik): $x=y-{\frac {b}{4a}}$

y^{4}+py^{2}+qy+r=0,

ahol

p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},

q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},

r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.

Egy ilyen egyenlet gyöke megegyezik a következő kifejezések egyikével: $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$

\pm {\sqrt {z_{1))}

\pm {\sqrt {z_{2))}

\pm {\sqrt {z_{3}}},

amelyben a jelkombinációkat úgy választják meg, hogy a következő összefüggés teljesüljön:

(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q} {nyolc}},

és a köbös egyenlet gyökerei $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$

z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}} {64}}=0.

A Ferrari döntése

A forma negyedik fokú egyenletének megoldása a Ferrari módszerrel kereshető meg. If a köbegyenlet tetszőleges gyöke $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0,

(2)

( főegyenlet megoldói ), akkor az eredeti egyenlet négy gyökét két másodfokú egyenlet gyökeként találjuk

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\jobbra)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}}

ahol a jobb oldali radikális kifejezés tökéletes négyzet .

Biquadratic egyenlet

A bikvadratikus egyenlet [4] az alak negyedik fokú egyenlete , ahol komplex számok és . Más szavakkal, ez egy negyedik fokú egyenlet, amelyben a második és a negyedik együttható nulla. Behelyettesítéssel másodfokú egyenletté redukálódik . $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ $ABC$ $a\not=0$ $y=x^{2};y\geqslant 0$ $y$

Négy gyökerét a képlet találja meg

x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}.

Negyedfokú reciprok egyenletek

A negyedik fokú reciprok egyenlet is viszonylag könnyen megoldható: arra , hogy a megoldást a következő alakra redukálva találjuk meg: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ $a \neq 0$

a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0

A csere után a másodfokú egyenletre keresünk megoldást , majd a másodfokú egyenletre . $t={x+{1\x}}$ $at^{2}+bt+c-2a=0$ $x^2 - tx + 1 = 0$

Jegyzetek

↑ Ferrari életrajza . Letöltve: 2009. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2009. október 29.. (határozatlan)
↑ "Nagy művészet" ( Ars magna archiválva : 2008. június 26. a Wayback Machine -nél , 1545 )
↑ Stuart, Ian . Galois elmélet, harmadik kiadás (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004 )
↑ A szakirodalomban a 20. század közepéig egy általános alak negyedik fokának bikvadratikus egyenletét is lehetett nevezni.

Irodalom

Korn G., Korn T. Matematikai kézikönyv tudósok és mérnökök számára. — M .: Nauka , 2003. — 832 p. - 5000 példány. — ISBN 5-8114-0485-9 .
4. előadás a könyvben: Tabachnikov S. L., Fuks D. B. Mathematical divertissement . — M. : MTsNMO , 2011. — 512 p. - 2000 példányban. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Linkek

A Ferrari döntése . Hozzáférés dátuma: 2009. szeptember 27. Az eredetiből archiválva : 2012. február 19.
Weisstein, Eric W. Másodfokú egyenlet (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Biquadratic egyenlet (angolul) a PlanetMath weboldalon .

Algebrai egyenletek
Lineáris egyenlet Másodfokú egyenlet köbös egyenlet A negyedik fokozat egyenlete Az ötödik fokozat egyenlete A hatodik fokozat egyenlete Hetedik fokozat egyenlete