Ars Magna (Cardano)

Az " Ars Magna " (  latinul  -  "nagy művészet") egy latin nyelvű , algebráról szóló könyv , amelyet Gerolamo Cardano olasz matematikus, a 16. század legnagyobb algebraistája írt [1] . 1545 -ben jelent meg először Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( A nagy művészet vagy az algebra szabályai) címmel .). Cardano életében megjelent egy második, kibővített kiadás, 1570-ben. Ebben a könyvben egy olyan problémát oldottak meg (nagymértékben), amellyel a világ legjobb matematikusai két évezredig nem tudtak megbirkózni – explicit (algebrai) formában megtalálták a harmadik és negyedik fokú egyenletek gyökereit ( a Cardano ). képletek ) [2] .

A Cardano-képletek alkalmazott értéke nem volt túl nagy, hiszen addigra a matematikusok már kidolgozták a numerikus módszereket bármilyen fokú egyenletek gyökereinek jó pontosságú kiszámítására. Cardano könyve azonban az új Európa matematikusának első munkája volt, amely nem a korábban ismert eredmények összefoglalását tartalmazza, hanem egy új elméleti módszer felfedezését, amelyet sem a görög , sem az iszlám matematikusok nem ismertek . Ez a siker új eredményekre inspirálta Európa matematikusait, amelyek nem voltak lassan követhetők [3] .

Cardano képletei az egyik legfontosabb matematikai objektum – a komplex számok – bevezetésének is alapjául szolgáltak [4] . Cardano könyve emellett az egyenletek gyökökben történő megoldásának kutatásának hosszú történetét indította el , ami három évszázaddal később Evariste Galois -t a csoportelmélet megalkotásához vezette . Ezért Oistin Ore ezt a művet a modern algebra kezdetének és a korai reneszánsz három legnagyobb tudományos könyvének egyikének nevezte – Kopernikusz „Az égi szférák forgásáról ” és „ Az emberi test szerkezetéről ” című értekezései mellett. írta Vesalius . Mindhárom könyv első kiadása 1543-1545 között jelent meg, és ezzel megkezdődött a tudományos forradalom a matematikában , a csillagászatban és az orvostudományban [5] [3] .

Történelem

1535-ben az olasz matematikus, Niccolo Tartaglia arról vált híressé, hogy megtalálta a módját, hogyan lehet explicit módon megoldani az alakot és a hol található köbegyenleteket (akkor a negatív számokat érvénytelennek tekintették, így ezt a két egyenlettípust lényegesen eltérőnek tekintették). E két egyenlettípus közül az elsőt valamivel korábban oldotta meg del Ferro , aki titokban tartotta módszerét, de Tartaglia függetlenül is tett egy hasonló felfedezést, és kiterjesztette ezt a módszert mindkét ilyen típusú egyenletre [6] .

1539-ben Gerolamo Cardano milánói matematikus arra kérte Tartagliát, hogy fedje fel neki módszerét. Némi ellenállás után Tartaglia beleegyezett, de megkérte Cardanót, hogy addig ne ossza meg ezt az információt senkivel, amíg ő maga nem teszi közzé. A következő néhány évben Cardano azon dolgozott, hogyan terjeszthesse ki Tartaglia képletét más típusú köbös egyenletekre. Sőt, tanítványa, Lodovico Ferrari megtalálta a módját a negyedik fokú egyenletek megoldásának . Mivel Tartaglia nem tett erőfeszítést módszerének közzétételére (és ráadásul del Ferro prioritása is kiderült), Cardano kötelezettségek alól mentesnek tekintette magát, és saját munkáját publikálta, miközben őszintén Tartaglia és del Ferro szerzőségét tulajdonította. Mindazonáltal ezt az algoritmust a történelemben „ Cardano formula ” -ként emlegették [7] .

A munka tartalma

A negyven fejezetre osztott könyv részletes leírást tartalmaz a köbegyenletek algebrai megoldásának módszeréről , valamint egy segédköbegyenlet segítségével a negyedik fokozatról . Az előszóban Cardano elismerte, hogy Tartaglia a képlet szerzője, és hogy ugyanezt a képletet del Ferro fedezte fel . Azt is elmondta, hogy tanítványa, Ferrari [8] felfedezett egy módszert a negyedik fokú egyenletek megoldására .

A többszörös gyökér fogalma először az Ars Magnában jelenik meg (I. fejezet). Cardano tudott arról, hogy egy köbös egyenletnek három valós gyöke lehet, és azt is, hogy ezen gyökök összege (abszolút értékben) megegyezik ( Vieta egyik képlete ) [9] együtthatójával . A negatív gyökereket Cardano az akkori szellemben "fiktív"-nek ( fictae ) nevezi, bár figyelembe vette őket az egyenletek elemzésekor, és néha köztes eszközként használta őket az "igazi" (pozitív) eredmény eléréséhez. Jóval Descartes előtt megfogalmazta a " jelek szabályát " [10] . Ismeri a később általánosított és Bezout-tételnek nevezett tényt is : egy polinom maradék nélkül osztható egy olyan binomimmal, ahol az egyik gyök [8] .

A dolgozat elején Cardano elmagyarázza, hogyan lehet egy általános alakú köbös egyenletet kanonikus formává redukálni (a kifejezés nélkül ). Mivel akkoriban a negatív együtthatókat nem ismerték fel, tizenhárom különböző típusú köbös egyenletet kellett figyelembe vennie (XI-XXIII. fejezet). A következő fejezetekben a XXXVIII. fejezetig a köbegyenlet közelítő numerikus megoldására szolgáló módszereket adunk meg [8] .

A modern jelöléssel az egyenlet három gyökére vonatkozó Cardano-képlet a következő:

Cardano, akárcsak Tartaglia korábban, nyitva hagyja azt a kérdést, hogy mit kezdjünk a köbegyenlettel, amelyre , ami miatt a négyzetgyök jel alatt negatív számot kapunk. Például az I. fejezetben szerepel egy egyenlet , amelyre Cardano azonban soha nem alkalmazta a képletét ilyen esetekben. Paradox módon éppen ez a „legösszetettebb” eset felel meg az egyenletgyök „legvalóságosabb” halmazának – mindhárom gyökről kiderül, hogy valódi. Hamarosan ennek a helyzetnek az elemzése (amelyet Casus irreducibilisnek neveznek , "reducibilis eset") egy új számosztály legalizálásának kezdetéhez vezetett; a komplex számok aritmetikáját először az Algebrában Bombelli (1572) és Albert Girard A New Discovery in Algebra című értekezésében (1629) [3] tárta fel .

Az Ars Magna tartalmazza a komplex számok első előfordulását a matematikában (XXXVII. fejezet), de még nem hozták összefüggésbe Cardano képleteivel. Cardano a következő problémát vetette fel [11] : keress két olyan számot, amelyek összege 10 és szorzata 40. Válasz: Cardano „szofisztikusnak” nevezte ezt a megoldást, mert nem látott benne valódi értelmet, de bátran azt írta, hogy „mindazonáltal mi” működni fog", és formálisan kiszámolták, hogy a termékük valóban 40. Cardano ezután azt mondja, hogy ez a válasz "olyan finom, mint amilyen haszontalan".

A XXXIX. fejezet a negyedik fokú egyenletekkel foglalkozik, amelyekhez hasonlóan 20 pozitív együtthatójú fajtát veszünk figyelembe.

Szöveg az interneten

• Ars Magna PDF formátumban  (lat.)
• Cardano, Gerolamo . Ars magna vagy Az algebra szabályai . - Dover, 1993. - 308 p. - ISBN 0-486-67811-3 .  (Angol)

Jegyzetek

1. ↑ Guter, 1980 , p. 151.
2. ↑ Gindikin S. G. Történetek fizikusokról és matematikusokról. - M . : Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", 14. szám).
3. ↑ 1 2 3 Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 295-296.
4. ↑ Gindikin, 2001 , p. 27-29.
5. ↑ Angol fordítás, 1993 , Előszó.
6. ↑ Guter, 1980 , p. 153-156.
7. ↑ MacTutor .
8. ↑ 1 2 3 Rybnikov, 1960-1963 , p. 119-120.
9. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 80.
10. ↑ Guter, 1980 , p. 160, 164-165.
11. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 81.

Irodalom

• Gindikin S. G. Nagy művészet // Történetek fizikusokról és matematikusokról. - 3. kiadás, bővítve. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 8-42. — 448 p. — ISBN 5-900916-83-9 .
• Guter R. S., Polunov Yu. L. Girolamo Cardano. - M . : Tudás , 1980. - 192 p. - ( A tudomány és a technológia alkotói ).
• A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 352 p.
• Nikiforovsky V. A. A XVI-XVII. századi algebra történetéből. - M . : Tudomány , 1979. - S. 42-88. — 208 p. — (Tudomány- és technikatörténet).
• Rybnikov K. A. A matematika története két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1960-1963. - T. 1.

Linkek

• Ars magna: Nagy művészet . A matematika története . Hozzáférés időpontja: 2021. április 22. (határozatlan)
• John J. O'Connor és Edmund F. Robertson . Girolamo Cardano  (angol)  egy életrajz a MacTutor archívumában .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán
Bibliográfiai katalógusokban	LCCN : n2012030695 VIAF : 250780129 WorldCat VIAF : 250780129