Casus irreducibilis

A Casus irreducibilis ( latinul " irreducibilis eset") egy olyan eset, amely akkor fordulhat elő, ha egy kocka alakú egyenletet egész együtthatókkal oldunk meg , amikor a gyököket gyökök fejezik. Ugyanis, ha egy köbös polinom racionális számokra irreducibilis éshárom valós gyöke van, akkor a gyökök gyökön keresztüli kifejezéséhez komplex értékű kifejezéseket kell bevezetni , még akkor is, ha a kifejezések eredő értékei valósak. Ezt Pierre Wantzel bizonyította 1843-ban [1] .

A Cardano-képlet diszkriminátora

A Cardano-képlet D diszkriminansával [2] [3] meg lehet határozni, hogy egy adott köbös polinom a casus irreducibilis eset alá esik - e . Legyen a köbös egyenlet így

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Az algebrai megoldásban fellépő D diszkriminánst a képlet adja meg

D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Ha , akkor a polinomnak két összetett gyöke van, így ez az eset nem esik a casus irreducibilis alá . $D<0$
Ha , akkor három valós gyök van, ezek közül kettő egyenlő, és az Euklidész algoritmus és a másodfokú egyenlet képlete segítségével megtalálhatók . Minden gyökér valódi, és valódi gyökök fejezik ki. A polinom nem irreducibilis. $D=0$
Ha , akkor három különböző gyök van. Vagy van egy racionális gyök, amely a racionális gyökök tételével kereshető meg, ebben az esetben a köbös polinom felbontható lineáris és másodfokú polinomokra, a második gyökeit a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével találhatjuk meg. . Vagy nincs ilyen dekompozíció, így a polinom a casus irreducibilis alá esik - minden gyök valós, de komplex számok szükségesek a gyökök gyökökben való kifejezéséhez. $D>0$

Formális nyilatkozat és bizonyíték

Általánosabban, tegyük fel, hogy F egy formális valós mező , és p ( x ) ∈ F [ x ] egy köbös polinom, amely irreducibilis F felett, de három valós gyöke van (gyökei F valós lezárásában ). A casus irreducibilis ezután azt állítja, hogy a p ( x ) = 0 egyenletre valós gyökökben lehetetlen megoldást találni .

Ennek bizonyítására [4] jegyezzük meg, hogy a D diszkrimináns pozitív. Kialakítjuk a mezőkiterjesztést . Mivel vagy F lesz, vagy az F mező másodfokú kiterjesztése (attól függően, hogy D négyzet az F mezőben ), irreducibilis marad benne. Ezért az over Galois csoport ciklikus csoport . Tegyük fel, hogy az egyenlet megoldható valós gyökökben. Ezután szétválhatunk egy ciklikus kiterjesztések tornyára $F({\sqrt {D)))$ $p(x)$ $p(x)$ $F({\sqrt {D)))$ $C_{3}$ $p(x)=0$ $p(x)$

F\subset F({\sqrt {D)))\subset F({\sqrt {D)),{\sqrt[{p_{1))]{\alpha _{1))})\ alhalmaz \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha )))

A torony végső szintjén az utolsó előtti K mezőben irreducibilis , de K -ban ( 3 √ α ) néhány α esetén felbontható . De ez a ciklikus mező kiterjesztése, ezért tartalmaznia kell az egység primitív gyökerét . $p(x)$

Egy valós-zárt mezőben azonban nincs primitív harmadik egységgyök. Valójában tegyük fel, hogy ω az egység primitív harmadik gyöke. Ekkor a rendezett mezőt meghatározó axiómák szerint ω, ω 2 és 1 mind pozitív. Ha azonban ω 2 >ω, a négyzetre emelés 1>1-et ad, ez ellentmondás. ω>ω 2 esetben is kapunk ellentmondást .

Megoldás nem valós gyökökben

Cardano döntése

Az egyenlet redukált trinomiumba redukálható úgy, hogy elosztjuk és behelyettesítjük ( Tschirnhaus Transform ), ami az egyenletet adja , ahol $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $a$ $x=t-{\tfrac {b}{3a))$ $t^{3}+pt+q=0$

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Ekkor a valós gyökök számától függetlenül a Cardano módszer szerint három gyöket adunk meg az egyenletből

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{ 3} \over 27}}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \ több mint 4}+{p^{3} \több mint 27}}}}}

ahol ( k =1, 2, 3) 1 ( , , és , ahol i a képzeletbeli egysége ) kockagyöke . Ha a kockagyök alatti gyök kifejezések nem valósak, akkor a kockagyököket olyan gyökök fejezik ki, amelyeket az összetett konjugált kockagyökpárok határoznak meg , míg ha valódiak, akkor ezeket a kockagyököket a valós kockagyökök határozzák meg. ${\displaystyle \omega _{k))$ $\omega _{1}=1$ $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$

A Casus irreducibilis akkor fordul elő, ha egyik gyökér sem racionális, és ha mindhárom gyök különálló és valós. Az az eset, amikor mindhárom valódi gyök különbözik, akkor és csak akkor következik be . Ebben az esetben a Cardano-képlet először a negatív szám négyzetgyökét veszi fel, amely a képzeletbeli számot adja, majd a komplex szám köbgyökét (ez a kockagyök nem kapható meg explicit módon valós gyökben α és β esetén , mivel a az ily módon történő expressziós kísérlethez az eredeti köbegyenlet megoldása szükséges). Megjegyzendő, hogy még abban a redukálható esetben is, amikor a három gyök közül az egyik racionális, és ezért a polinom kibővíthető úgy, hogy a polinomokat elosztjuk egy oszloppal , Cardano képlete (adott esetben ebben az esetben) ezt a gyöket (és másokat) a következőképpen fejezi ki: nem igazi radikálisok. ${\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}<0$ $\alpha +\beta i$

Példa

Csökkentett köbös egyenlet

x^{3}-3x+1=0

irreducibilis, hiszen ha faktorálható lenne, lenne egy racionális megoldást adó lineáris faktor, míg a racionális gyöktétel alapján nincs racionális gyök. Mivel a polinom diszkriminánsa pozitív, az egyenletnek három valós gyöke van, így ez egy példa a casus irreducibilisre . Cardano képlete megadja ezt a három valódi gyökeret

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}+{\sqrt {-3 \over 4))))+\omega _{k }^{2}{\sqrt[{3}]{-{1 \over 2}-{\sqrt {-3 \over 4))))

ha k =1, 2, 3. Ez a gyökös megoldás a képzeletbeli számot használja, és ezért a konjugált komplex számok kockagyökeit használja . ${\sqrt {-3 \over 4}}$

Nem algebrai megoldás valós mennyiségekben

Míg a casus irreducibilis esete nem oldható meg gyökökben valós értékekben, a megoldás trigonometrikusan [ 5] . Ugyanis a redukált köbös egyenletnek vannak megoldásai $t^{3}+pt+q=0$

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3))))\cos \left({\frac {1}{3))\arccos \left({\frac { 3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad

számára

\quad k=0,1,2\,.

Ezeket a megoldásokat akkor és csak akkor fejezzük ki valós számokkal, ha - vagyis akkor és csak akkor, ha három valós gyök van. A képlet szerint először egy bizonyos szöget számítanak ki, majd ezt a szöget elosztják hárommal, majd kiszámítják a kapott szög koszinuszát, és végül megszorozzák a normalizáló tényezővel. ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

Kapcsolódás egy szög háromszakaszával

A három valós gyökerű redukálható és irreducibilis esetek közötti különbség azzal a lehetőséggel vagy lehetetlenséggel függ össze, hogy a klasszikus iránytű és egyenes konstrukció segítségével egy racionális szinuszos vagy koszinuszos szög három egyenlő részre osztható -e . Ha tudjuk, hogy a θ szög koszinuszának van egy bizonyos racionális értéke, akkor ennek a szögnek a harmadának van koszinusza, amely az egyenlet három gyökének egyike.

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

Hasonlóképpen, ha tudjuk, hogy a θ szög szinuszának van egy bizonyos racionális értéke, akkor ennek a szögnek a harmadának van szinusza, amely az egyenlet három gyökének egyike.

-4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.

Mindkét esetben, ha az egyenlet racionális gyöke megkapható a racionális gyökök tételből, akkor x vagy y mínusz ez a gyök kinyerhető az egyenlet bal oldalán lévő polinomból, így egy másodfokú egyenlet marad, amely megoldható. a maradék két gyökér. Ekkor mindezeket a gyököket a klasszikus konstrukcióval kapjuk meg, hiszen négyzetgyökben fejezhetők ki, így vagy konstruálhatóak, és akkor a megfelelő szög is konstruálható . Másrészt, ha a racionális gyöktétel azt mutatja, hogy nincsenek racionális gyökök, akkor casus irreducibilist kapunk , vagy nem szerkeszthető, a szög nem szerkeszthető , és a θ szög harmadrészét klasszikus módszerekkel lehetetlen megadni. . $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3}}$ $\cos({\tfrac {\Theta }{3)))$ $\sin({\tfrac {\Theta }{3)))$ ${\tfrac {\Theta }{3}}$

Általánosítás

A Casus irreducibilis a polinomok magasabb hatványaira általánosítható a következőképpen. Legyen p ∈ F [ x ] egy irreducibilis polinom, amely az F mező R formális valós kiterjesztésében bomlik fel (azaz p -nek csak valós gyökei vannak). Tegyük fel , hogy p -nek van gyöke -ben , ami az F gyökök általi kiterjesztése . Ekkor p hatványa 2 hatványa, felosztó tere pedig az F mező iterált négyzetkiterjesztése [6] [7] . $K\subseteq R$

Ekkor minden olyan irreducibilis polinom esetében, amelynek foka nem 2 hatványa, és amelynek gyökei mind valódiak, a gyökök nem fejezhetők ki pusztán valós gyökökkel. Sőt, ha egy polinom fokszáma 2-es fok, és az összes gyök valódi, akkor ha van olyan gyök, amely valós gyökökkel fejezhető ki, akkor négyzetgyökben fejezhető ki, és nincs nagyobb fokú gyök. ami igaz a többi gyökérre. Tehát egy ilyen polinom gyökei klasszikusan szerkeszthetők .

A Casus irreducibilist az ötödik fokú függvényre Dummit cikkében tárgyalja [8]

Jegyzetek

↑ Wantzel, 1843 , p. 117–127.
↑ Cox, 2012 , p. 15, 1.3.1. Tétel.
↑ Badiru, Omitaomu, 1952 , pp. 2-22.
↑ van der Waerden, 1949 , p. 180.
↑ Cox, 2012 , p. 18–19 1.3B. szakasz A köbös trigonometrikus megoldása.
↑ Cox, 2012 , p. 222 Tétel 8.6.5.
↑ Isaacs, 1985 , p. 571–572.
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics Archiválva : 2012. március 7. a Wayback Machine -nél , 17. oldal

Irodalom

Pierre Wantzel. Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique (francia) // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1843. - Kt. 2 . — P. 117–127 .
BL van der Waerden. Modern algebra . - Frederick Ungar Publ. Co., 1949. - 180. o .
- B.L. van der Waerden. Algebra. - M . : "Mir", 1976.
David A. Cox. 1.3B. szakasz A köbös trigonometrikus megoldása // Galois-elmélet. - Wiley-Interscience, 2012. - (Tiszta és alkalmazott matematika). - ISBN 0-471-43419-1 .
Adedeji B. Badiru, Olufemi A. Omitaomu. Ipari mérnöki egyenletek, képletek és számítások kézikönyve / Adedeji B. Badiru. - CRC Press, 1952. - (Ipari Innovációs sorozat). — ISBN 978-1-4200-7627-1 .
David A. Cox. Galois elmélet. — 2. - John Wiley & Sons, 2012. - (Tiszta és alkalmazott matematika). — ISBN 978-1-118-07205-9 . - doi : 10.1002/9781118218457 . . Lásd különösen az 1.3. A valós számok köbös egyenletek című szakaszát (15–22. o.) és a 8.6. A Casus Irreducibilis című részt (220–227. o.).
Bartel Leendert van der Waerden . Modern algebra I. - Springer, 2003. - ISBN 978-0-387-40624-4 .
I. M. Isaacs. Polinomok megoldása valós gyökökkel // American Mathematical Monthly . - 1985. - október ( 92. kötet , 8. szám ).

Linkek

casus irreducibilis (angol) a PlanetMath webhelyen .